Homomorfisma
Contoh:
1. Mis
G gruop bil reil R + terhadap operasi perkalian (R+, x) Q
dibaca SIE
G^1
grup bil rel R terhadap operasi +
Q
; G ke G^1 didefinisikan dg Q(x) = log x, unt setiap x angg G
Bukti:
Adit:
Q (x.y) =(?) Q (x) + Q (y)
Q(x)
= log x
Q(y)
= log y
Q(xy)=
log (xy)
= log x + log y
Q(xy)=
Q9x) + Q(y)
Karena
Q(xy) = Q9x) + Q(y) unt setiapp x,y angg
G
Maka
Q: G ke G1 adalah homomofisme
2. Apakah
Q ; G ke G^1 berupa Isomofisme?
Jawab:
i.
Adit Q injektif
Q(x)=Q(y)
maka x=y
Q(x)=Q(y)
Log
x = log y
X=y
(kedua logaritma hasilnya sama berarti bil yang logaritmakan adalah sama)
ii.
Adit Q surjektif
Ambil
sebarang z angg G^1 ,, x =10^y
Maka
Q(x) = log x
Q(X)
= log 10 ^y
Q(x)=
y
Dari
pers i dan ii mka Q ; G ke G1 adalah Isomofisme
3. Mis
G himp bil bulat tak nol terhadp opersi x membentuk grup
G^1 = (1,-1) grup
terhadap operasi x
Pemetaan Q : G ke G^1 didefinisikan oleh
Q(x) = 1, x>0 dan
-1, x<0
Buktikan Q homofisme
Bukti
Kasus 1) x > 0, y
>0
x>0 maka Q(x)=1
y >0 maka Q(y)=1
xy>0maka Q(xy) = 1
= 1.1
=Q(x) Q(y)
Kasus 2) x>0, y<0
=-1
Kasus 3) X<0, y>0
=-1
Kasus 4) x<0, y<0
=1
4. Mis.
(Z, +) grup
a. Jika
beta ; Z ke Z didefinisikan dg beta (x)=2x, unt setiap Z , buktikan beta
endomomorfisme
b. Jiak
beta ; z ke z didefinisikan dengan beta (x) = x, unt setiap x anggo Z, bukti
beta antomorfisme
Bukti
a. Ambil
serarang x,y angg Z B=
TETA
B
(x) = 2x
B
(y) = 2y
B(x+y)=
2 (x+y)
=
2x + 2Y
=
b(x) + b(y)
Karena
b (x+y) = b (x) + B (y) untuk setiap x,y angota Z
Dan
b;Z ke Z maka beta endodomorfisme, tpi tidak surjeektif
b. I)
adit : b homomorfisme
ii)
beta ijektif dan surjektif
i.
B(x) = -x, b (y)=-y
B
(x+y) = - (x+y)
= -x-y
=-x + (-y)
=b(x) + b (Y)
ii.
Adit beta ijektif dan surjektif
-
Ambil sebarang x,y angg
Z
B
(x) = B (Y)
-x=-y
-1.x=-1.y
X=y
(konselasi kiri)
Maka
b injektif
-
Ambil sebrang y ang Z
Pilih
x ang Z , x = _y
B
(X) = -(-y)
B(x)=y
Maka
b surjektif
Karena
b endomorfisme dan b injektif dan b surjekti maka b antromorfisme
5. Apakah
setiap grup dari grup abeluan adalah grup normal?
Jawab: iya, buktinya
Miasalkan , G adalah
grup abelian maka setiap x,y angg G
Berlaku x,y=y=x
n adalah sub grup G
maka n subset G sehingga n angg N, maka n angg G. Adan karena G abel mk N juga
berlaku setiap m,n angg N. Maka mn=nm
N dikatakan subgrup
normal dari G (N subgrup normal G)
Jika a^-1 Na subset N,
unt a angg G
Ambil sebrang P angg
a^-1 Na dg A ngg G
P = a^-1 na, n ang N
P = a^-1 an, komutaif
karena G abel dan N ang N, N suset G maka n ang G
P= en , invers
P=n , sifat indentitas
Maka diperoleh p angg
N, karena P angg a^-1 Na dan P ang N
Mak sifat a^-1Na subset
N
Sehg terbukti N subgrup
Nrmal dari G
6. G
grup siklis, jika ada a ang G ada G =<a>
<a> = (a^n l a c G) (x, kali) c di baca subset
<a>=(n.a l a angg
G) (+, tambah)
Adit: <a> grup
abel
-
Ambil sebrabg x,y angg
<a>
Adit
xy=yx
Bukti
x ang <a> maka x = a^m
Y ang <a> maka y = a^n
Xy= a^m + a^n= a ^m+n = a^n . a^m =
y.x
-
X angg <a> maka x
= n.a
Y
ang <a> maka y = m.a
X+y=
na+ma
=
a (m+n)
=
ma + na
=y
+ x
7. Beta
: Z ke Zn, dg b(a)=(a) dari a ang Z, maka b (a+b) =(a+b)= (a) +(b)= b(a)+b(b),
unt setiap a,b ang Z. Homomofisme
Adid homofisme
B (a+b) = (a+b)
=(a)+(b)=b(a)+b(b) un unt setiap a,b ang Z.
Adib:
B(a+b)= (?) b(a) + b(b)
B(a)= (a)
B(b)=(b)
B(a+b)=(a+b)
B(a+b)= (a)+(b)
= b(a)+b(b)
Karena B(a+b)=
b(a)+b(b) unt setia a,b ang Z maka Z ke Z adalaha homofisme
Adib surjektif
Untuk setiap c ang Zn,
ada a ang Z maka b(a)=c
Ambil sebrang c ang Z
pilih c ang Z pilih c =(a), maka
B(a)=(a)
B(a)=c
8. Definisi
b; Z ke Z by b(a)=2a untuks etiap a ang Z. Maka b(a+b)= 2(a+b)=2a+2b= b(a)+b(b)
untuk setiap a,b ang Z. Homofisme
Adib homofisme
B(a+b)=(?) b(a) +b(b)
B(a)=2a
B(b)=2b
B(a+b)=2(a+b)
=2a+2b
= b(a)+b(b)
Karena b (a+b)=
b(a)+b(b), untuk setiap a,b ang z, maka b;Z ke Z adalah homomofisme
Homofisme injektif
Ambil sebarang a,b ang
Z maka
Adib: b(a) =(?) b(b)
2a=2b
A=b (kensel kiri)
Terbukti b(a)=b(b) maka
a=b
9. Dari
r ang R, def Pr:R ke R by Pr(a)=ar untuk setiap a ang R. Maka homofisme ,
Pr(a+b)=(a+b)r=ar+br=Pr(a)+Pr(b) untuk setiap a,b ang R. Buktikan (a+b)r=ar+br
Jawab:
Homomofisme Pr:R ke R
i.
Adib injektif
Ambil
sebrang a,b ang R maka
Adib
Pr(a)=Pr(b)=(?) ar=br
Pr(a)=Pr(b)
Ar=br terbukti
ii.
Adib surjektif
Untuk
r ang R, untuk c ang R ada cr ang R
Untuk
cr ang R, ada a ang R maka Pr(a)=cr
Ambil
sebrang cr anng R
Pilih
a ang R , a=c
Pr(a)=ar
Pr(a)=cr terbukti
10. Apakah
semua subgrup S3 adalah subgrup normal?
Jawab tidak.
Himp S3= ( (1), (1,2),
(1,3), (2,3), (123), (132) )
Untuk membuktikan
subgrup normal haruslah koset kiri=koset kanan
Ambil sebarang ,
misalkan (1) dan (1.3)
-
Koset kanan
H
o (1) = ( (1) , (1,3))
H
o (a) = H O (1.2)= Ho (123)
= ( (1) o (12), (13) o (12)
= ((12) (123))
H
o (a) = H o (23) = H o (132)
= ((1) o (23), (13) o(23
= ((23) o (132))
Koset
kiri
(1) o
H = ((1) , (13))
(a) o
H = (12) o H
=((12)
o (1) , (12) o (13)
=
((23) o (123)
Jadi
koset kiri tidak sama dengan kosed kanan
11. b(a)
adalah subgrup dari H
adib b G sugrup H ,
b(aob) = b(a) #b(b)
two
steps subgrup test
a. b(a)
tidak sama dengan Himpunan kosong
jelas,
karena G grup dan ada eG ada b (eG) = eH
b. b(G)
cubsed H
b(G)=
(b(a) l a ang G)
setiap
b(a) ang b(G) maka b(a) ang H
berarti
b(a) sused H
c. ambil
sebarang
x,y
ang (G)
x
ang b(G) artinya ada a ang G ada x = b(a)
y
ang b(G) artinya ada b ang G ada y = b(b)
karena
himpunannya di H maka operasi yang digunakan #
x
# y = b(a) # b(a)
= b(a o b)
Ang
b(G)
Setiap
ang b(G) artinya ada a ang G ada x =
b(a)
X
= b (a)
X^-1
= b (a)^-1
=
b (a^-1)
Ang
b (G)
Terbukti
b (k) subsed H
B= k ke H b homomofisme
Tunjukkan
secara one-step
Ambil
sebrang x.y ang b(G)
Adib
xy^-1 ang b(G)
X
ang b (G) ke ada a ang G, ada b(a)=x
Y
ang b(G) ke b ang G , ada b(b)= y
B(b)=y
(b(b)^-1
= y ^-1
X
# y^-1 = b (a) # ( b (b))^-1
= b (a) # (b(b^-1)
= b (a # b^-1)
Ang b (G) , a o b^-1 ang G
KERNEL
1. R
dan S masing-masing grup
R x S = ((r,s) l r ang
R dan s ang S)
b : R x S ke R yang
didefinisikan dengan b (r,s)
a. Tunjukkan
bahwa b suatu homomorfisme
Ambil
sembarang (r1, s1) dan (r2, s2) ang R x S
Dengan:
(r1,
s1) = (r2, s2)
B(r1,
s1)= b (r2, s2)
r1 = r2
adit
homorfisme
mis
#
operasi di R x S
b
operasi di R
b((r1,
s1) # (r2, S2)) = b (r1 o r2) , s1 o s2)
= r1 o r2
= b (r1, s1) o b
(r2, s2)
Jadi
b homorfisme
b. Tentukan
kernel b
Ker
b = ((r,s) l b (r,s) = eR)
= ((eR s ) l eR
ang R dan s ang S) , b (eR x s) = eR
= ( eR) x s
2. Mis
G = Z-(0) terhadap operasi x
G^1
= G
0I
; G ke G^1 dengan 0I (x)=x^2 0I
baca himpunan kosong
a. Tunjukan
0l homorfisme
Ambil
sebrang x,y ang G = Z-(0)
0l
(x) = x^2
0l
(y) = y ^2
0l(xy)=
(xy)^2
= x^2 y^2
=0l(x) 0l(y)
b. Ker
0l
Ker
0l = (x ang G l 0l (x) = eG^1)
Diperoleh
0l(x)= x^2
1= x^2
X^2= 1
X= +- akar 1 = +- 1
Jadi
ker 0l = (x ang G l x=1 atau x= -1)
GRUP FAKTOR
1. G/N
himp koset (kiri/kanan) dari N di G maka G/N terhadap operasi
NaNb=
Nab
Merupakan
suatu yang tersebut grup faktor (kosien) dari G oleh N
G/N G
Ne=N e
Na
a
Nb b
Nab
ab
Bukti
G/N = (Na l a ang G) berupa koleksi
himpunan
i.
Adit G/N tertutup, terhadap operasi “o”
Ambil
Na, Nb ang G/N
(Na)
(Nb) = N (aN) b
= N(Na)b (N subgrup normal G)
= NNab
= Nab (NN=N)
G/N
tertutup terhadp oerasi “o”
ii.
Adit G/N t=asosiatif
Ambil
sebarang Na, Nb, Nc ang G/N
((Na)(Nb))
(Nc) = (Na) ((Nb)(Nc)
(Nab)
(Nc) = (Na) (Nbc)
NNabc = NNabc
Nabc=Nabc
iii.
Indentitas
Ambil
sebarang N x G G/N
Adit;
NaNx = Na
NaNx=Nax
Haruslahlah
x=e
NaNx = (Na) (Ne)
= N (Na)e
= NNae
= Nae
Ada(Ne)
elemen indentitas
Bukti:
NaNe
= N (Na) e
= N(Na) e
= Nae
=Na
iv.
Invest
Adit
ada Na ang G/N , ada Na^-1 ang G/N
NaNa^-1
= Ne= N
Bukti
(Na)
(Na^-1) = N (aN) a^-1
= N(Na) a^-1
= Naa^-1
= Ne
= N
Dari
i – iv terbukti Grup
2. Mis
G = (Z, +)
H= ( 4Z l Z ang Z)
H= (...,-8, -4, 0, 4,
8...)
Koset-koset kanan dari
H
H+0=(..., -8, -4, 0, 4,
8,...)= 0+H
H+1=(..., -7, -3, -1,
5, 9,...)=1+H
H+2=(..., -6,-2,2, 6,
10,...)=2+H
H+3=(..., -5, -1, 3, 7,
11)= 3+H
G/H maka Z l 4Z= (H+0,
H+1, H+2, H+3)
Himpunan koset kanan
dari H di G
-
Apakah 4Z subbgrup Z ?
ya,, karena setiap grup abelian merupakan sebgrup normal
-
Apakah Z / 4 Z grup ?
ya,
(H+1)
+ (H+2) = H (1+2)
3. Jika
G suatu grup berhingga, berapakah tingkat (order) dari G/N?
Jawab
G/N = koleksi semua koset dari N dalam G
= koleksi semua koset kanan N
dalam G
Elemen
dar G/N adalah subsed dari G. Jika G finit, maka order dari G/N adalah
banyaknya koset kanan dari N dalam G. Atau disebut indeks dari N dalam G.
Jadi
t (G/N) = banyaknya koset kana
dari N dalam G
=indeks dari N
dalam G
= i G(S)
= t(G)/t(N) (akibat
teorema langrarange)
4. Diketahui:
G = (a, a^2, a^3, ..., a^12=e) adalah grup siklik
S
= (e, a^3, a^3, a^9) subgrup normal dar G
Dit G/S . . .?
= koleksi semua
koset dari S dalam G
= Koleksi semua
koset kanan dari S dalam G
Koset-koset
kanan dari S dalam G adalah :
Se = (ee, a^3,
a^6 e, a^9e) = ( e, a^3, a^6, a^9) = S
Sa= ( ea, a^3a,
a^6a, a^9a)=(a, a^4, a^7, a^10)
Sa^2= ( ea^2,
a^3a^2, a^6a^2, a^9a^2)=(a2, a^6, a^8, a^11)
Sa^3 = . . .
. .
.
.
.
Sa^12= ( ea^12,
a^3a^12, a^6a^12, a^9a^12)=(a^12, a^2, a^15, a^8)= Sa^2
Jadi koset-koset
kanannya yang berbeda
1. Se=
Sa^3 = Sa^4= S^9= S (e, a^3, a^6, a^9)
2. Sa
= S^4.....................=(a,a^4, a^7, a^10)
3. S^2=.....................=(a^2,
a^6, a^8,a^11)
Jadi
G/S = ( S, Sa, Sa^2)
4. Diketahui:
G (P, P2,P3,P4,P6) grup dari himpunan permutasi terhadap perkalian permutasi
dengan:
P1=(123, 123) P2=(123,231), P3=(123, 312) P4=(123, 132)
P5=(123, 321) P6=(123, 213)
Dit:
a) t(G/S) = ... ?
t(G) = 6
t(S)= 3
t(G/S) = t(G)/t(S)= 6/3 = 2
b) G/S
= koleksi semua koset dari S dalam G
= Koleksi semua
koset kanan dari S dalam G
Koset-koset kanan dari
S dalam G adalah:
SP1= (P1P1), P2,P1,P3P1)=(P1,
P2, P3)= S
SP2=(P1P2, P2P2,P3P2)=
.....
P1P2=(123, 123) (123, 231) = (231)=P2
P2P2=(231) (231) = 231= P3
P3P2= ( 312)(231)= (123)=P1
Jadi SP2= (P2, P3, P1)=
S
SP3 = (P1P3, P2P3, P3P3) = ....
P2P3=
(231)(312)=123=P1
P3P3=(312)(312)
= P2
Jadi:
SP3= (P3, P1, P2)=S
SP4 = (P1P4, P2P4, P3P4)=....
P2P4=(231)(132)=(213)
P3P3=
(312) (132) = 321=P2
Jadi SP4= (P3,P1,P2)
SP5=
(P1P5, P2P5, P3P5)=.....
P2P5=
(231) (321) =132 = P4
P3P5=
(312) (321) = 213 = P6
Jadi
SP5 = (P5, P4, P6) = SP4
SP6=
(P1P6, P2P6,P3P6)
P2P6=
(231) (213) = (321) = P5
P3P6=(312)
(213) =(132) = P4
Jadi
SP6 = (P6, P5, P4)=SP4
Jadi
koset-koset kananya yang berbeda adalah
1. SP1=
SP2=SP3 = S= (P1, P2, P3)
2. SP4=
SP5 = SP6= (P4, P5, P6)
Jadi
G/S = ((P1,P2,P3), (P4,P5,P6))
