Bila
didefinisikan Q(akar 2 ) = { a + b akar 2 I a, b dalam Q } maka akan
dibuktikan bahwa
Q(akar 2 ) merupakan ring bagian dari R.
Karena Q
himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(akar 2 ) juga himpunan yang
tidak kosong.
Terhadap operasi
pergandaan bersifat
( a + b akar 2 ) ( c + d akar 2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) akar 2
dan terhadap
operasi pengurangan bersifat 5
( a + b ) akar 2 – ( c + d )akar 2 = ( a – c ) + ( b – d ) akar 2
Karena ac + 2bd,
ad + bc, a – c dan a – d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasil
pengurangannya
tetap dalam Q (akar 2 ).
Oleh karena itu
Q (akar 2 ) merupakan ring bagian dari R.
Perlu dicatat bahwa Q (akar 2 ) similar
dengan himpunan bilangan kompleks
C = { a + b i I a, b dalam R }
karena bentuk a
+ b i analog dengan bentuk a + b akar 2 dan
dalam hal ini ring Q (akar 2 )
mengandung Q, seperti juga C mengandung
R.
Diketahui A ring
dan b anggota tertentu dari A.
Jika
didefinisikan Cb
=
{ x dalam A I bx = xb
} maka akan dibuktikan Cb ring bagian
dari A.
Himpunan Cb tidak
kosong karena b komutatif denagn dirinya sendiri.
Misalkan x, y
dalam C.
Karena ( xy )b =
x ( yb ) = x ( by ) = ( xb ) y = ( bx ) y = b ( xy ) dan juga ( x – y )b = xb –
yb = bx – by = b ( x – y )
maka berarti xy
dan x – y komutatif dengan b sehingga merupakan anggota C.
Oleh karena itu
Cb
tertutup
terhadap operasi penjumlahan dan operasi pergandaan dan
akibatnya Cb
ring
bagian dari A. Dapat dibuktikan bahwa Q(akar 2) = {a + b akar 2 I a, b dalam Q}
merupakan rin bagian dari R.
Dapat juga diuji
bahwa 1 + 0 akar 2 anggota satuan dalam Q(akar 2). Karena Q(akar 2) ring bagian, komutatif dan
tidak mempunyai pembagi nol maka Q(akar 2)
daerah integral. Misalkan
diambil a + b akar 2 tdk = 0 maka a –
b akar 2 juga tidak nol.
Akibatnya dengan merasionalkan
penyebutnya didapat
(1/a+b akar 2) ((a-b akar 2) / (a-b akar 2)) =
((a-b akar 2) / (a^2 – 2b^2)) = (a / a^2 – b^2) + ((-b)/ a^2 – b^2)) . akar 2
Hal
ini a^2 – 2b^2 bilangan rasional dan tak nol
merupakan anggota Q(akar 2). Hal itu berarti
setiap anggota Q(akar
2) mempunyai invers
terhadap pergandaan dalam Q(akar 2) dan berarti
Q(akar
2) field
Misalkan R ring dengan
operasi tambah dan kali, serta misalkan bahwa identitas untuk operasi jumlah
dan kali berturut-turut adalah 0 dan 1, maka setiap a,
b, c anggota R, kita peroleh:
(a) kita dapat menulis,
a0 = a(0 + 0) [ sifat unsur
0 di R ]
a0 = a0 + a0 [ sifat
distribusi kanan ]
0 + a0 = a0 + a0
[ sifat unsur 0 di R ]
a0 = 0 [ karena R grup terhadap +,
maka –a0 di R, tambahkan
kedua ruas dengan –a0 ]
Dengan cara sama, 0a = (0
+ 0)a = 0a + 0a, dengan menggunakan sifat
distribusi kiri, diperoleh 0a =
0.
(b) Pertama-tama akan ditunjukkan
a(-b) = -(ab). Perhatikan bahwa:
ab + a(-b) = a[b
+ (-b)] = a0 = 0 (dengan menggunakan sifat distribusi kanan
dan bagian (a) pada lemma ini.
Dengan demikian diperoleh bahwa a(-b) = -ab.
Dengan cara sama ab + (-a)b
= [a + (-a)]b = 0b = 0, diperoleh (-a)b
= -ab.
(c) (-a)(-b) = -(a(-b)
(menurut bagian (b))
= -(-(ab)) (menurut bagian
(b))
= ab
(d) a(b – c)
= a[b + (–c)] (definisi operasi pengurangan)
= ab + a(-c) (sifat distibusi
kanan)
= ab + (-ac)
(menurut bagian (b))
= ab – ac (definisi
operasi pengurangan)
Dengan cara sama (a – b)c
= ac – bc.
(e) Misalkan bahwa R mempunyai
unsur kesatuan 1, maka:
a + (-1)a = 1a + (-1)a
= [1 + (-1)]a
= 0a
= 0
Ini berarti bahwa (-1)a =
-a.
(f)
Jika dipilih a = -1 pada bagian (e), diperoleh (-1)(-1) = 1.
Contoh Misalkan R=Z5, Buktikan bahwa R=Z5 merupakan ring pembagian.
Tunjukkan bahwa <Z,+,•>, <Q,+,•>,<R,+,•> merupakan daerah
integral
Tunjukkan bahwa <Z6,+,•> bukan
daerah integral
Buktikan bahwa
jika R adalah ring tanpa pembagi nol jika dan hanya jika hukum
penghapusan berlaku.
Buktikan bahwa
jika R adalah lapangan, maka R merupakan ring tanpa unsur pembagi
nol.
Bukti
Misalkan R lapangan,
maka R merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan dimana setiap
unsur tak nolnya memiliki invers di R terhadap operasi perkalian.
Ambil a, b
dua unsur sebarang di R, dengan ab=0. Sekarang jika a≠0, maka
a-1 ada,
sehingga ab=0 mengakibatkan a-1(ab)
= a-10
sehingga kita punya
b=0. Jadi
jika a tdk = 0, ab=0,
maka b=0. Dengan cara sama bila b≠0,
maka b-1
ada, sehingga ab=0
mengakibatkan (ab)b-1 = 0b-1 sehingga
kita punya a=0.
Dengan demikian
jika b tdak =0, ab=0,
maka a=0. Sehingga dapat disimpulkan
bahwa R tanpa pembagi nol.
Teorema 2.2.5. Daerah Integral (D) yang hingga
merupakan lapangan.
Bukti
Sebelum kita membuktikan teorema
ini, kita kembali pada pengertian daerah
integral merupakan ring komutatif
sedemikian sehingga ab=0 jika dan hanya jika
paling sedikit satu dari a=0 atau
b=0. Sedangkan lapangan merupakan ringkomutatif dengan unsur kesatuan yang mana
setiap unsur tak nol mempunyai
invers. Dengan demikian untuk
membuktikan bahwa daerah integral yang hingga
itu merupakan lapangan, kita
harus menunjukkan bahwa
(a) 1 anggota D, sedemikian sehingga a1=a,
untuk setiap a anggota D.
(b) untuk setiap a
tidak = 0, a
anggota D, terdapat b
anggota D, sedemikian sehingga ab=1.
Misalkan {x1, x2, …, xn}adalah semua unsur-unsur
D dan misalkan a tdk = 0 anggota
D. karena
D ring, maka x1a, x2a, …, xna semuanya juga termuat di D.
Claim x1a, x2a, …, xna semuanya berbeda. Ambil xia, xja dua unsur D dengan
xia = xja untuk i tidak
= j, maka (xi - xj)ja=0. Karena D daerah
integral dan a tidak = 0, maka xi - xj = 0,
sehnigga xi = xj. Kontradiksi dengan xi tidak =
xj.untuk i≠j. Jadi x1a, x2a, …, xna
semuanya berbeda. Dengan demikian
D tepat mempunyai n buah unsur yang berbeda. Dengan kata lain
untuk setiap y anggota D, dapat ditulis sebagai y =
xia, untuk suatu xi anggota D. Karena a
anggota D, maka a=xioa, untuk suatu xio anggota
D. Karena D komutatif,
maka a = xioa = axio. Sekarang jika sebagai y
= xia, untuk suatu xi anggota
D, dan y xio= (xia) xio= xi (a xio) = xi a= y. Jadi xio merupakan unsure kesatuan
dari D dan kita tulis 1.
Sekarang 1anggota D, dengan menggunakan
fakta bahwa setiap unsur di D, merupakan perkalian dengan suatu unsur
lain dengan a. Dengan kata lain 1anggota D, maka terdapat b anggota
D, sedemikian sehingga 1=ba,
dan karena D komutatif maka 1=ba=ab. Dengan demikian
teorema telah terbukti.
Akibat
2.2.6. Zp Lapangan jhj p bilangan
prima.
Teorema 2.2.8 Setiap lapangan adalah
daerah integral
Bukti
Misalkan F adalah
lapangan, maka F adalah ring komutatif. Selanjutnya ambil a, b
unsur-unsur sebarang di F dengan
ab=0.akan ditunjukan bahwa a=0 atau b=0.
Misalkan a
tidak = 0,
karena F lapangan maka a-1 anggota
F. Dengan demikian a-1 (ab)= a-1 0=0., atau b=0.
Dengan cara sama ditunjukkan jika b anggota
0 maka a=0
Definisi
Daerah Integral D dikatakan mempunyai
karakteristik 0 (nol) jika na = 0, dengan a tidak = 0dan n bilangan bulat hanya dipenuhi oleh n=0.
Latihan
Selidiki apakah Z, Q,
R, C dan Zn mempunyai karakteristik nol.
Definisi
DaerahIintegral D dikatakan mempunyai
karakteristik hingga jika
terdapat bilangan bulat positif n
sehingga na=0, ∀a∈D
Teorema
2.2.9. Karakteristik
daerah integral yang hingga selalu hingga.
Bukti
Misalkan D adalah daerah integral
yang hingga dan misalkan 1 unsur kesatuan di D,
maka menurut definisi
karakteristik D akan hingga atau tak hingga. Dengan
demikian order dari 1 (D
dipandang sebagai grup komutatif terhadap operasi
penjumlahan) adalah 0 atau
hingga. Sekarang karena order setiap unsur grup hingga
adalah hingga, dan karena 1 unsur
D, maka order dari 1 hingga sebut n,yaitu n1 =
0. Sekarang ambil a
anggota K
sebarang, maka,
na = a + a+ …+a sebanyak
n suku
= 1a+ 1a+ …+1a sebanyak
n suku
= (1 + 1+ … + 1) a
= (n1)a
= 0a (karena n1=0)
= 0 (karena 0 a = 0, setiap
a anggota D)
Jadi n adalah
bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga na = 0, setiap a anggota D.
Karenanya karakteristik dari D hingga.
Teorema 2.2.10. Jika D integral
domain, maka karakteristik dari D adalah 0 atau prima.
Bukti
Misalkan D
adalah integral domain dan a sebarang unsur D. Sekarang kasus
jika order dari
a adalah 0, bila D dipandang sebagai grup terhadap operasi
penjumlahan,
maka karakteristik dari D adalah 0. Dengan ini teorema telah
terbukti.
Selanjutnya jika order dari a adalah hingga sebut n, bila D
dipandang
sebagai grup terhadap operasi penjumlahan, maka karakteristik
dari D adalah n
dan akan kita tunjukkan bahwa D merupakan bilangan
prima. Andaikan
n komposit, dan misalkan n = n1n2 dengan n1 tidak = 1, n2 tidak 1
dan n1 < n, n2 < n. Sekarang karena n merupakan
karakteristik dari D, maka n merupakan bilangan bulat positif terkecil
sedemikian sehingga na=0, anggota a anggota D,
a tidak = 0. Sehingga kita punya
na = 0
n1n2 a = 0
(n1n2
a)b = 0b, anggota b anggota D,
b tidak = 0.
