mitem geometri S2 unit A

1.      Jika adan b sejajar

sudut sehadap sama besar:

5 = 1; 6 = 2; 7 = 3; 8 = 4; (sudut)

sudut berseberangan luar sama besar:

7 = 1; 8 = 2 (sudut)

sudut berseberangan dalam sama besar: 5 = 3; 6 = 4 (sudut)

 Akibat: 1 = 3 = 5 = 7 dan 2 = 4 = 6 = 8 (sudut)

2.      Jika garis a dan b dipotong oleh garis c dan sudut sehadapnya sama besar, maka

a  sejajar b. sejajar

 Jika garis a dan b dipotong oleh garis c dan sudut berseberangan luarnya sama

besar, maka a sejajar b.

 Jika garis a dan b dipotong oleh garis c dan sudut berseberangan dalamnya sama

besar maka a sejajar b

3.      Berdasar sifat kesejajaran tersebut beberapa sifat diturunkan:

a. Jumlah besar sudut sebuah segitiga 180o.

b. Besar sebuah sudut luar sebuah segitiga sama

dengan jumlah besar dua sudut lainnya.

Besar B2 = A + C (sudut)

c. Dari butir a dapat diturunkan antara lain:

1) Jumlah besar sudut sebuah segi-n = (n – 2) x  180o.

2) Besar sebuah sudut segi-n (poligon) beraturan = x °

Segi-n beraturan adalah segibanyak (poligon) yang semua sisinya sama

panjang dan semua sudutnya sama besar,

4.      Jika sebuah garis g sejajar sisi AB pada segitoga ABC dan

memotong AC di titik D dan BC di E, maka:

1) (sudut)CDE kongruen (sudut)CAB dan (sudut)CED =(sudut)CBA

(sudut)CDE = (sudut)CAB dibaca sudut CDE kongruen dengan sudut CAB. Dua sudut

kongruen jika keduanya sama besar).

ΔCDE ~ ΔCAB ; Akibat lebih lanjut: (segitiga)

a) CD : CA = CE : CB = DE : AB

b) CD : DA = CE : CB

c) Luas ΔCDE : Luas ΔCAB = (CD)2 : (CA)2 = (CE)2 : (CB)2 = (DE)2 : (AB)2

Jika titik D dan E pada gambar di atas masing-masing titik tengah AC dan

BC , maka DE disebut (salah satu) paralel tengah pada segitiga tersebut.

DE = 1/2 AB dan DE sejajar AB

4) Jika pada segitiga ABC tersebut titik D pada AC dan E

pada BC sedemikian sehingga besar (sudut)CDE =(sudut)B dan (sudut)CED = (sudut)A, maka DE disebut ruas

garis anti paralel terhadap AB .

Syarat suatu sistem Aksioma:

1.  Konsisten;  tidak boleh ada dua pernyataan yang saling  bertentangan  (juga istilah dan simbol harus non kontradiktif)

2. Independen; suatu peryataan tidak dapat diturunkan dari pernyataan lain.
3. Lengkap; pernyataan yang diturunkan dari sistem itu dapat dibuktikan benar atau salah
4. Ekonomis; simbol/istilah yg digunakan tdk  berlebihan

Aksioma euclid

1.        Melalui dua titik dapat dilukis sebuah garis lurus.

2. Sebuah ruas garis dapat diperpanjang tak terbatas.
3. Bila diketahui sebuah titik dan sebuah jarak dapat dilukis sebuah lingkaran.
4. Semua sudut siku-siku besarnya sama
5. Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian sehingga membentuk sepasang sudut dalam sepihak jumlahnya kurang dari dua sudut siku, maka apabila kedua garis tersebut diperpanjang tak terbatas akan berpotongan di pihak dimana jumlah kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku.

PKE

PKE: Melaui satu titik diluar suatu garis hanya ada suatu garis yg sejajar dg garis yang diketahui.   

6.      Misalkan diketahui garis m, n dan l. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam sepihak sudut P1 dan sudut Q2 dimana sudut P1 + sudt Q2 kurang 180. Apabila m dan n   diperpanjang tak terbatas maka m berpotongan dengan n.

7.      Teorema Sudut Dalam Berseberangan
Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian sehinggga membentuk pasangan sudut dalam  berseberangan  yang  kongruen, maka kedua garis tersebut sejajar

Misalkan diketahui garis m, n dan l. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam berseberangan sudut P1 dan sudut Q2. Akan dibuktikan bahwa m sejajar n

    Andaikan  m sejasjsar n , berarti m berpotongan dengan n. Berdasarkan teorema dalam geometri insiden maka m dan n berpotongan di satu titik misalkan titik R. Perhatikan ΔPQR, ÐQ2 adalah sudut luarnya. Berdasarkan teorema sudut luar, maka  sudut Q2 > msudut P1 (kontradiksi dengan hipotesis). Oleh karena itu m sudut n. Terbukti.

8.      Teorema: (Konvers TSDB)
Jika dua garis sejajar dipotong  oleh  garis  trans- versal, maka sudut dlm berseberangan kongruen.

Illustrasi:

   Misalkan diketahui garis m, n dan l dengan m sejajar n. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam berseberangan sudut P1 dan sudut Q2. Akan dibuktikan bahwa ÐP1 = ÐQ2.

BUKTI:

    Andaikan  sudut P1 =   sudut Q2, berarti sudut P1 lebih besar sudut Q2 atau sudut P1 kecil sudut Q2. TMBK, misalkan sudut P1 kecil sudut Q2. Berdasarkan postulat mengkonstruksi sudut maka terdapat titik R pada daerah sudut P1 sehingga sudut QPR = sudut Q2 (misalkan garis yang melalui titik P dan R adalah k). Berdasarkan teorema sudut dlm berseberangan, maka garis k sejajar n. Karena k tidak sma dg m, maka melalui titik P di luar garis n terdapat dua garis yang sejajar dengan n (kontradiksi dengan PKE). Haruslah sudut P1 = sudut Q2. Terbukti.

BUKTI: P maka Q

Diketahui: Konvers dari Teorema Sudut Dalam Berseberangan.

Akan dibuktikan: Postulat Kesejajaran Euclides.

Misalkan diketahui garis m, n dan l dengan m // n. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk sudut dalam  P =  Q2. Akan dibuktikan: melalui titik P diluar garis n hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis n.

BUKTI:

Misalkan melalui titik P diluar garis n ada garis lain yaitu garis k (k ¹ m), maka harus ditunjukkan bahwa garis k memotong garis n.

Andaikan garis k tidak memotong garis n, berarti k // n. Apabila k // n, maka berdasarkan konvers teorema sudut dalam berseberangan  QPR =  Q . Padahal diketahui  Q =  P . Berdasarkan sifat transitivitas pada kekongruenan sudut disimpulkan  P  =  QPR. Karena garis k dan m melalui titik P maka k = m (kontradiksi). Haruslah garis k memotong garis m. Dengan demikian terbukti bahwa melalui titik P diluar garis n hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis n. Terbukti.

9.      Jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam sepihak saling bersuplemen, maka kedua garis tersebut sejajar. Buktikan !

Misalkan diketahui garis m, n dan l. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sehingga membentuk pasangan sudut dalam sepihak sudut P1 dan sudut Q@ dan sudut P1+ sudut Q2 = 180.

Akan dibuktikan : m sejjar n.

BUKTI:

Diketahui sudut sudut P1+ sudut Q2 = 180. Disisi lain sudut Q3 + sudut Q2= 180. Sehingga diperoleh  P1=Q3, dimana P1 dan  Q3 adalah pasangan sudut dalam berseberangan. Maka berdasarkan Teorema sudut dalam berseberangan disimpulkan m // n. Terbukti.

10.  Diketahui segitiga ABC dan segitiga PQR dengan s CAB =RPQ, AB = PQ dan s CBA = RQP. Buktikan segitiga ABC = segitiga PQR. 

Bukti

Berdasarkan Aksioma (S-Sd-S), segitiga ABC = segitiga PQR apabila AC=PR Andaikan AC tidak = PR, maka AC<PR  atau AC>PR,  TMKB, misalkan AC>PR maka terdapat titik D anggota AC sehingga AC=PR. Akibatnya, segitiga ABD= segitiga PQR (S-Sd-S) sehingga ABD = PQR. Karena diketahui sudut ABC = PQR, maka berdasarkan sifat transitivitas pada kekongruenan sudut disimpulkan ABD = ABC. (kontradiksi). Haruslah AC=PR sehinga terbukti segitiga ABC = segitiga PQR.

11.  Diketahui sagitiga PQR. Buktikan bahwa PQ + QR besar PR

BUKTI:

Lukis titik D pada sinar PQ sehingga P-Q-S dan QS=QR Akibatnya segitga QRS adalah segitiga samakaki sehingga s QRS = s QSR. Karena P-Q-S, maka PQ + QS = PR. Karena QS = QR maka PQ + QR = PS. Karena titik Q terletak di interior s PRS maka s PRS besar s QRS. Karena s QRS s kecil QSR maka s PRS bsaer s QSR sehingga berdasarkan teorema disimpulkan PS > PR atau PQ + QS = PR.

12.  Diketahui Δ ABC dan Δ A’B’C’ dengan A-B-D, A’-B’-D’,  AB  =A’B’,  BD = B’D’,  AC = A’C’, dan  BC = B’C’. Buktikan CD  = C’D’.  

Perhatikan  segitiga ABC dan segitiga A’B’C’. Karena AB+A’B’, AC=A’C’ dan BC=B’C’ maka segitiga ABC = segitiga A’B’C’ (Ss-Ss-Ss).  Akibatnya :  s CBD =s C’B’D’. Perhatikan  segitiga CBD dan segitiga C’B’D’. Karena BD=B’D’ s CBD = s C’B’D’. Dan BC=B’C’ maka segitiga CBD = segitiga C’B’D’ (Ss-Sd-Ss).  Akibatnya CD=C’D’. Terbukti.

 

 Manakah diantara relasi di atas yang merupakan fungsi X^2

Penyelesaian:      

a)     Karena untuk setiap X^2= x.x adalah anggota R juga serta merupakan hasil yang tunggal,maka setiap x anggota R mempunyai peta, yaitu x². Jadi f merupakan fungsi dari R ke R.

b)     Karena  x  R, x³ = x.x.x  R merupakan hasil yang tunggal, maka f adalah fungsi dari R ke R. Jadi dari relasi-relasi yang ditetapkan diatas yang merupakan fungsi adalah relasi f pada b dan c.