Penerapan Pendekatan Project – Based Learning Terhadap Hasil Belajar Siswa Pada Pokok Bahasan Persamaan Garis Lurus

Psikologi kognitif teori Piaget dan Teori Vygotsky

jelaskan penerapan teori Piaget yang dirasakan oleh mahasisiwa secara individual ketika mengerjakn teorema yg berkaitan dengan subgrop normal?
jawaban:
untuk menjelaskan subgrup normal penerapan tieri piaget sanagt berpengaruh karena sebelum kita mempelajari subgrop normal, kita harus bisa menyelesaikan masalh tentang grop, subgrop, dan koset (koset kanan dan kiri) karena materi yang lama itu adalah langkah untuk menyelesaikan materi yang baru
"Menurut Piaget, perkembangan kognitif mempunyai empat aspek, yaitu 1) kematangan, sebagai hasil perkembangan susunan syaraf; 2) pengalaman, yaitu hubungan timbal balik antara orgnisme dengan dunianya; 3) interaksi sosial, yaitu pengaruh-pengaruh yang diperoleh dalam hubungannya dengan lingkungan sosial, dan 4) ekuilibrasi, yaitu adanya kemampuan atau sistem mengatur dalam diri organisme agar dia selalu mempau mempertahankan keseimbangan dan penyesuaian diri terhadap lingkungannya.

a.      Kematangan

Kematangan sistem syaraf menjadi penting karena memungkinkan anak memperoleh manfaat secara maksimum dari pengalaman fisik. Kematangan membuka kemungkinan untuk perkembangan sedangkan kalau kurang hal itu akan membatasi secara luas prestasi secara kognitif. Perkembangan berlangsung dengan kecepatan yang berlainan tergantung pada sifat kontak dengan lingkungan dan kegiatan belajar sendiri.

b.      Pengalaman

Interaksi antara individu dan dunia luar merupakan sumber pengetahuan baru, tetapi kontak dengan dunia fisik itu tidak cukup untuk mengembangkan pengetahuan kecuali jika intelegensi individu dapat memanfaatkan pengalaman tersebut.

c.       Interaksi Sosial

Lingkungan sosial termasuk peran bahasa dan pendidikan, pengalaman fisik dapat memacu atau menghambat perkembangan struktur kognitif

d.      Ekuilibrasi

Proses pengaturan diri dan pengoreksi diri (ekuilibrasi), mengatur interaksi spesifik dari individu dengan lingkungan maupun pengalaman fisik, pengalaman sosial dan perkembangan jasmani yang menyebabkan perkembangan kognitif berjalan secara terpadu dan tersusun baik."

2. Jelaskan kaitan antara aktivitas yang diberikan dsen denagn teori Piaget dan Teori Vygotsky 
cara

Seperti Piaget, Vygotsky menekankan bahwa anak-anak secara aktif menyusun pengetahuan mereka. Akan tetapi menurut Vygotsky, fungsi-fungsi mental memiliki koneksi-koneksi sosial. Vygotsky berpendapat bahwa anak-anak mengembangkan konsep-konsep lebih sistematis, logis, dan rasional sebagai akibat dari percakapan dengan seorang penolong yang ahli.

1.      Konsep Zona Perkembangan Proksimal (ZPD)

Zona Perkembangan Proksimal adalah istilah Vygotsky untuk rangkaian tugas yang terlalu sulit dikuasai anak seorang diri tetapi dapat diipelajari dengan bantuan dan bimbingan orang dewasa atau anak-anak yang terlatih. Menurut teori Vygotsky, Zona Perkembangan Proksimal merupakan celah antara actual development dan potensial development, dimana antara apakah seorang anak dapat melakukan sesuatu tanpa bantuan orang dewasa dan apakah seorang anak dapat melakukan sesuatu dengan arahan orang dewasa atau kerjasama dengan teman sebaya. Batas bawah dari ZPD adalah tingkat keahlian yang dimiliki anak yang bekerja secara mandiri. Batas atas adalah tingkat tanggung jawab tambahan yang dapat diterima oleh anak dengan bantuan seorang instruktur. Maksud dari ZPD adalah menitikberatkan ZPD pada interaksi sosial akan dapat memudahkan perkembangan anak.

2.      Konsep Scaffolding

Scaffolding ialah perubahan tingkat dukungan. Scaffolding adalah istilah terkait perkembangan kognitif yang digunakan Vygotsky untuk mendeskripsikan perubahan dukungan selama sesi pembelajaran, dimana orang yang lebih terampil mengubah bimbingan sesuai tingkat kemampuan anak.Dialog adalah alat yang penting dalam ZPD. Vygotsky memandang anak-anak kaya konsep tetapi tidak sistematis, acak, dan spontan. Dalam dialog, konsep-konsep tersebut dapat dipertemukan dengan bimbingan yang sistematis, logis dan rasional.

3.      Bahasa dan Pemikiran

Menurut Vygotsky, anak menggunakan pembicaraan bukan saja untuk komunikasi sosial, tetapi juga untuk membantu mereka menyelesaikan tugas. Lebih jauh Vygotsky yakin bahwa anak pada usia dini menggunakan bahasa unuk merencanakan, membimbing, dan memonitor perilaku mereka. Vygotsky mengatakan bahwa bahasa dan pikiran pada awalnya berkembang terpisah dan kemudian menyatu. Anak harus menggunakan bahasa untuk berkomunikasi dengan orang lain sebelum mereka dapat memfokuskan ke dalam pikiran-pikiran mereka sendiri. Anak juga harus berkomunikasi secara eksternal dan menggunakan bahasa untuk jangka waktu yang lama sebelum mereka membuat transisi dari kemampuan bicara ekternal menjadi internal


 

 

 

Penerapan Pembelajaran Matematika Realistik Terhadap peningkatan Kemampuan Berpikir Kritis Siswa Kelas VII SMP

A.    Latar Belakang Masalah

Dunia pendidikan sekarang ini dihadapkan pada tantangan-tantangan yang mengharuskannya mampu melahirkan individu-individu yang dapat memenuhi tuntutan global,sebab pendidikan merupakan lembaga yang berusaha untuk membangun masyarakat dan watak bangsa secara berkesinambungan yaitu membina mental, dan kepribadian dalam rangka membentuk manusia seutuhnya. Pendidikan tersebut bisa didapat baik dari pendidikan non formal maupun pendidikan formal. Pendidikan non formal bisa didapat melalui kegiatan non formal seperti les privat maupun pendidikan yang lain diluar  sekolah. Sedangkan pendidikan formal bisa didapat disekolah mulai dari Sekolah Dasar (SD), Sekolah Menengah Pertama (SMP), Sekolah Menengah Atas (SMA), maupun perguruan tinggi(PT). Di Sekolah Pelajaran matematika merupakan mata pelajaran wajib bagi semua siswa. Dalam pengajaran matematika diharapkan anak dapat berpikir sendiri untuk menyelesaikan persoalan baru, sebagaimana yang dinyatakan oleh Nasution bahwa ”anak-anak harus belajar berpikir sendiri untuk menghadapi berbagai persoalan baru, jangan hanya disuruh menghafal jawaban atau pertanyaan.”[1]

Pendidikan dalam era modern semakin tergantung tingkat kualitas,partisipasi dari guru untuk menggunakan berbagai sumber yang tersedia, mengatasi permasalahan yang dihadapi siswa untuk mempersiapkan pembelajaran yang dapat menumbuhkan cara berpikir siswa menjadi lebih kritis dan kreatif.

Untuk menumbuhkan sikap aktif, kreatif dan inovatif dari siswa tidaklah mudah. Fakta yang terjadi adalah guru dianggap sumber belajar yang paling benar. Proses pembelajaran yang terjadi memposisikan siswa sebagai pendengar ceramah guru. Akibatnya proses belajar mengajar cenderung membosankan dan menjadikan siswa malas belajar.

Kemajuan ilmu pengetahuan akan mempengaruhi cara belajar yang efektif, sehingga perlu adanya cara berpikir secara terarah dan jelas. Dengan banyaknya permasalahan-permasalahan yang muncul, perlu adanya pembaharuan-pembaharuan di lingkungan pendidikan yang mengarahkan pembelajar agar dapat selalu berpikir kritis. Banyak yang beranggapan bahwa untuk dapat berpikir kritis memerlukan suatu tingkat kecerdasan yang tinggi. Padahal berpikir kritis dapat dilatih pada semua orang untuk dipelajari. Disinilah peranan pendidikan memberikan suatu konsep cara belajar yang efektif.

Dalam interaksi pendidikan peserta didik tidak harus diberi atau dilatih, tetapi mereka dapat mencari, menemukan, memecahkan masalah-masalah dan melatih dirinya. Siswa dilatih berperan aktif dan bertanggung jawab terhadap proses dan hasil pembelajaran. Agar proses pembelajaran dapat terlaksana dan berjalan secara efektif, disinilah peranan cara berpikir kritis.Kegiatan pembelajaran matematika diharapkan mampu membuat siswa terampil dalam menyelesaikan masalah yang dihadapinya, baik dalam bidang matematika maupun dalam bidang lain yang terkait. Kegiatan pembelajaran matematika diharapkan mampu membuat siswa berkembang daya nalarnya sehingga mampu berpikir kritis, logis, sistematis, dan pada akhirnya siswa diharapkan mampu bersikap obyektif, jujur dan disiplin.

Kegiatan tersebut bertolak belakang dengan apa yang terjadi di kelas VII SMP 8 Lhokseumawe. berikut adalah salah satu contoh soal berpikir kritis yang telah diselesaikan oleh salah seorang siswa SMP 8 Lhokseumawe kelas VII:

Dari sekelompok anak, terdapat 25 anak hobi mengendarai sepeda, 20 anak hobi mengendarai motor, dan 11 anak hobi keduanya. Jumlah anak dalam kelompok tersebut adalah

Peneyelesaiakan:

1. Bagaimana cara menghitung jumlah anak dalam kelompok tersebut?

-          Dengan cara menjumlahkan kelompok anak yang hobi mengenderai sepeda dengan kelompok anak yang hobi mengenderai motor .

2. Hitunglah jumlah anak dalam kelompok?

-          25 + 20 = 45

3. Tentukan hasil akhir jumlah anak dalam kelompok?

-          45

Dari hasil tersebut, terlihat jelas bahwa kemampuan siswa tersebut dalam menyelesaikan soal berpikir kritis masih kurang. Ini dapat dilihat pada poin (b) yaitu kurangnya kemampuan siswa dalam menentukan jawaban rasional, siswa menjumlahkan kelompok anak yang hobi mengenderai sepeda dengan kelompok anak yang hobi mengenderai motor, seharusnya siswa mengurangkan jumlah siswa yang mengenderai sepeda dengan hobi keduanya dan mengurangakan anak yang hobi motor dengan hobi keduanya dan kemudian menjumlahkan hasil pengurangan jumlah siswa yang mengenderai sepeda dengan hobi keduanya dan jumlah siswa yang mengenderai motor dengan hobi keduanya dan menjumlahkan siswa yang hobi keduanya. Oleh karena itu, hasil evaluasi akhir pada poin (c) keliru. Jawaban yang benar adalah 34 tetapi yang didapatkan oleh siswa adalah 45.

Kondisi ini menyebabkan kurangnya kemampuan berpikir kritis siswa. Untuk mengatasi masalah tersebut, dibutuhkan pembelajaran matematika yang melibatkan kegiatan siswa dengan memakai konteks dunia nyata sebagai sumber pengembangan konsep dan sebagai wahana aplikasi melalui proses matematisasi vertikal maupun horisontal. Dalam matematisasi horizontal siswa menggunakan matematika sehingga dapat membantu mareka mengornisasi dan menyelesaikan suatu masalah yang ada pada situasi nyata. Contohnya: pengidenfikasian, perumusan, dan pemvisualisasian masalah masalah dengan cara yang berbeda-beda, pentransformasian masalah dunia real ke masalah matematika. Sedangkan matematisasi vertikal merupakan proses pengorganisasian kembali dengan dengan menggunakan matematika itu sendiri. Contohnya, penyesuaian model matematika, penggunaan model-model yang berbeda, perumusan model matematika dan pengeneralisasian. Untuk mewujudkan itu semua harus diawali harus diawali dari pemilihan metode pembelajaran yang tepat. Berkenaan dengan interaksi siswa di kelas, tidak diabaikan PMR, tetapi merupakan bagian yang esensial dalam proses pembelajaran. Selanjutnya tiga prisip kunci PMR, sebagai berikut: menemukakan kembali (guided reinvention), fenomena didaktik (didacticalphenemology) dan model dibangun sendiri oleh siswa (self-devoloped models).Untuk itulah peneliti mencoba untuk menerapkan suatu pembelajaran dalam kegiatan proses belajar mengajar yaitu Pembelajaran Matematika Realistik (PMR) yang telah lama dikembangkan di Belanda. Pembelajaran Matematika Realistik (PMR) adalah salah satu pemebalajaran dalam pembelajaran matematika yang mengajak siswa untuk menyukai matematika dengan memperlihatkan kepada siswa cara mempelajari matematika, melalui pengalaman langsung ke alam sekitar.[2] Freudental yang mengatakan bahwa “matematika harus terkait dengan realita dan matematika merupakan bagian dari aktivitas manusia”.[3] Menurut De Lange dan Ven Den Neuvel Panhuizen ”Matematika Pembelajaran Matematika Realistik (PMR) adalah pembelajaran matematika yang mengacu pada konstruktivis sosial dan dikhususkan pada pendidikan matematika”.[4]

            Peneliti melihat bahwa pembelajaran Pembelajaran Matematika Realistik (PMR) adalah Pembelajaran yang sangat tepat diterapkan dalam proses belajar mengajar pada pelajaran matematika guna untuk peningkatan  kemampuan berpikir kritis siswa, sehingga peneliti tertarik untuk melakukan penelitian yang berjudul “Penerapan Pembelajaran Matematika Realistik Terhadap peningkatan Kemampuan Berpikir Kritis Siswa Kelas VII SMP Negeri 8 Lhokseumawe”

---

[1]S.Nasution, Azaz – azaz Kurikulum, (Jakarta: Bina aksara,2003), hal.254

[2]Freudental ,Realistic Mathemathic Education, (online), 2003, http//yowono.blogspot.com, diakses 03 November 2011

[3] Freudental dikitip dalam Yowono,Realistic Mathemathic Education, (online), 2003, http//yowono.blogspot.com, diakses 03 November 2011

[4] Da Lenge dan Ven Den Neuvel Panhuizen dikitip dalam Yowono, Realistic Mathemathic Education, (online), 2003, http//yowono.blogspot.com, diakses 03 November 2011

mesjid darussa'adah mesda keutapang kecamatan nisam kabupaten aceh utara

mesjid darussa'adah adalah salah satu mesjid tua yang ada di kecamatan nisam kab aceh utara propinsi aceh, mesjid ini berada di pekarangan dayah Darut Thalibin Mesda Keutapang yang di pimpin oleh Tgk H. Hasballah ali, (Abu Keutapang) santrinya yang berjumlah kurang lebih duaratusan (200san), pada periode 2010-2015 yang menjabat sebagai Imum Mesjid (Imum Syik) adalah Tgk H. Jamaluddin dan sektaris Tgk Aziz. mesjid ini lebih dikenal dengan dayahnya (dayah Darut Thalibin). saat kita berjamaah di mesjid ini selalu di ikuti dengan wirit yg bervariasi, dhuhur wirit tahlilan, ashar wirit tasbih, magrip wirit yasin, isya wirit samadiah, dan suduh tahlilan, hal ini terjadi karena para santri dayah Darut Thalibin melakukan shalat berjamaah disini. shalat terawih dimesjid inii 20 rakaat dan diikuti 3 witir dan wirit dan samadiah setiap selesai shalat terawih, dan disetiap ramadhan pula ad limapuluhan jamaah khalud disini. AHLULSUNNAH WALJAMAAH yg bermazhab syafii.

B.

1. Jika adan b sejajar

sudut sehadap sama besar:

5 = 1; 6 = 2; 7 = 3; 8 = 4; (sudut)

sudut berseberangan luar sama besar:

7 = 1; 8 = 2 (sudut)

sudut berseberangan dalam sama besar: 5 = 3; 6 = 4 (sudut)

 Akibat: 1 = 3 = 5 = 7 dan 2 = 4 = 6 = 8 (sudut)

2.      2. Jika garis a dan b dipotong oleh garis c dan sudut sehadapnya sama besar, maka

a  sejajar b. sejajar

 Jika garis a dan b dipotong oleh garis c dan sudut berseberangan luarnya sama

besar, maka a sejajar b.

 Jika garis a dan b dipotong oleh garis c dan sudut berseberangan dalamnya sama

besar maka a sejajar b

3.      3. Berdasar sifat kesejajaran tersebut beberapa sifat diturunkan:

a. Jumlah besar sudut sebuah segitiga 180o.

b. Besar sebuah sudut luar sebuah segitiga sama

dengan jumlah besar dua sudut lainnya.

Besar B2 = A + C (sudut)

c. Dari butir a dapat diturunkan antara lain:

1) Jumlah besar sudut sebuah segi-n = (n – 2) x  180o.

2) Besar sebuah sudut segi-n (poligon) beraturan = x °

Segi-n beraturan adalah segibanyak (poligon) yang semua sisinya sama

panjang dan semua sudutnya sama besar,

4.      4. Jika sebuah garis g sejajar sisi AB pada segitoga ABC dan

memotong AC di titik D dan BC di E, maka:

1) (sudut)CDE kongruen (sudut)CAB dan (sudut)CED =(sudut)CBA

(sudut)CDE = (sudut)CAB dibaca sudut CDE kongruen dengan sudut CAB. Dua sudut

kongruen jika keduanya sama besar).

ΔCDE ~ ΔCAB ; Akibat lebih lanjut: (segitiga)

a) CD : CA = CE : CB = DE : AB

b) CD : DA = CE : CB

c) Luas ΔCDE : Luas ΔCAB = (CD)2 : (CA)2 = (CE)2 : (CB)2 = (DE)2 : (AB)2

Jika titik D dan E pada gambar di atas masing-masing titik tengah AC dan

BC , maka DE disebut (salah satu) paralel tengah pada segitiga tersebut.

DE = 1/2 AB dan DE sejajar AB

4) Jika pada segitiga ABC tersebut titik D pada AC dan E

pada BC sedemikian sehingga besar (sudut)CDE =(sudut)B dan (sudut)CED = (sudut)A, maka DE disebut ruas

garis anti paralel terhadap AB .

Syarat suatu sistem Aksioma:

1.  Konsisten;  tidak boleh ada dua pernyataan yang saling  bertentangan  (juga istilah dan simbol harus non kontradiktif)

2. Independen; suatu peryataan tidak dapat diturunkan dari pernyataan lain.
3. Lengkap; pernyataan yang diturunkan dari sistem itu dapat dibuktikan benar atau salah
4. Ekonomis; simbol/istilah yg digunakan tdk  berlebihan

Aksioma euclid

1.        Melalui dua titik dapat dilukis sebuah garis lurus.

2. Sebuah ruas garis dapat diperpanjang tak terbatas.
3. Bila diketahui sebuah titik dan sebuah jarak dapat dilukis sebuah lingkaran.
4. Semua sudut siku-siku besarnya sama
5. Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian sehingga membentuk sepasang sudut dalam sepihak jumlahnya kurang dari dua sudut siku, maka apabila kedua garis tersebut diperpanjang tak terbatas akan berpotongan di pihak dimana jumlah kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku.

4. PKE

PKE: Melaui satu titik diluar suatu garis hanya ada suatu garis yg sejajar dg garis yang diketahui.   

6.      Misalkan diketahui garis m, n dan l. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam sepihak sudut P1 dan sudut Q2 dimana sudut P1 + sudt Q2 kurang 180. Apabila m dan n   diperpanjang tak terbatas maka m berpotongan dengan n.

7.      6. Teorema Sudut Dalam Berseberangan
Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian sehinggga membentuk pasangan sudut dalam  berseberangan  yang  kongruen, maka kedua garis tersebut sejajar

Misalkan diketahui garis m, n dan l. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam berseberangan sudut P1 dan sudut Q2. Akan dibuktikan bahwa m sejajar n

    Andaikan  m sejasjsar n , berarti m berpotongan dengan n. Berdasarkan teorema dalam geometri insiden maka m dan n berpotongan di satu titik misalkan titik R. Perhatikan ΔPQR, ÐQ2 adalah sudut luarnya. Berdasarkan teorema sudut luar, maka  sudut Q2 > msudut P1 (kontradiksi dengan hipotesis). Oleh karena itu m sudut n. Terbukti.

8.      8. Teorema: (Konvers TSDB)
Jika dua garis sejajar dipotong  oleh  garis  trans- versal, maka sudut dlm berseberangan kongruen.

Illustrasi:

   Misalkan diketahui garis m, n dan l dengan m sejajar n. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam berseberangan sudut P1 dan sudut Q2. Akan dibuktikan bahwa ÐP1 = ÐQ2.

BUKTI:

    Andaikan  sudut P1 =   sudut Q2, berarti sudut P1 lebih besar sudut Q2 atau sudut P1 kecil sudut Q2. TMBK, misalkan sudut P1 kecil sudut Q2. Berdasarkan postulat mengkonstruksi sudut maka terdapat titik R pada daerah sudut P1 sehingga sudut QPR = sudut Q2 (misalkan garis yang melalui titik P dan R adalah k). Berdasarkan teorema sudut dlm berseberangan, maka garis k sejajar n. Karena k tidak sma dg m, maka melalui titik P di luar garis n terdapat dua garis yang sejajar dengan n (kontradiksi dengan PKE). Haruslah sudut P1 = sudut Q2. Terbukti.

 

 

  BUKTI: P maka Q

Diketahui: Konvers dari Teorema Sudut Dalam Berseberangan.

Akan dibuktikan: Postulat Kesejajaran Euclides.

Misalkan diketahui garis m, n dan l dengan m // n. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk sudut dalam  P =  Q2. Akan dibuktikan: melalui titik P diluar garis n hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis n.

BUKTI:

Misalkan melalui titik P diluar garis n ada garis lain yaitu garis k (k ¹ m), maka harus ditunjukkan bahwa garis k memotong garis n.

Andaikan garis k tidak memotong garis n, berarti k // n. Apabila k // n, maka berdasarkan konvers teorema sudut dalam berseberangan  QPR =  Q . Padahal diketahui  Q =  P . Berdasarkan sifat transitivitas pada kekongruenan sudut disimpulkan  P  =  QPR. Karena garis k dan m melalui titik P maka k = m (kontradiksi). Haruslah garis k memotong garis m. Dengan demikian terbukti bahwa melalui titik P diluar garis n hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis n. Terbukti.

9.      Jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam sepihak saling bersuplemen, maka kedua garis tersebut sejajar. Buktikan !

Misalkan diketahui garis m, n dan l. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sehingga membentuk pasangan sudut dalam sepihak sudut P1 dan sudut Q@ dan sudut P1+ sudut Q2 = 180.

Akan dibuktikan : m sejjar n.

BUKTI:

Diketahui sudut sudut P1+ sudut Q2 = 180. Disisi lain sudut Q3 + sudut Q2= 180. Sehingga diperoleh  P1=Q3, dimana P1 dan  Q3 adalah pasangan sudut dalam berseberangan. Maka berdasarkan Teorema sudut dalam berseberangan disimpulkan m // n. Terbukti.

10.  Diketahui segitiga ABC dan segitiga PQR dengan s CAB =RPQ, AB = PQ dan s CBA = RQP. Buktikan segitiga ABC = segitiga PQR. 

Bukti

Berdasarkan Aksioma (S-Sd-S), segitiga ABC = segitiga PQR apabila AC=PR Andaikan AC tidak = PR, maka AC<PR  atau AC>PR,  TMKB, misalkan AC>PR maka terdapat titik D anggota AC sehingga AC=PR. Akibatnya, segitiga ABD= segitiga PQR (S-Sd-S) sehingga ABD = PQR. Karena diketahui sudut ABC = PQR, maka berdasarkan sifat transitivitas pada kekongruenan sudut disimpulkan ABD = ABC. (kontradiksi). Haruslah AC=PR sehinga terbukti segitiga ABC = segitiga PQR.

11.  Diketahui sagitiga PQR. Buktikan bahwa PQ + QR besar PR

BUKTI:

Lukis titik D pada sinar PQ sehingga P-Q-S dan QS=QR Akibatnya segitga QRS adalah segitiga samakaki sehingga s QRS = s QSR. Karena P-Q-S, maka PQ + QS = PR. Karena QS = QR maka PQ + QR = PS. Karena titik Q terletak di interior s PRS maka s PRS besar s QRS. Karena s QRS s kecil QSR maka s PRS bsaer s QSR sehingga berdasarkan teorema disimpulkan PS > PR atau PQ + QS = PR.

12.  Diketahui Δ ABC dan Δ A’B’C’ dengan A-B-D, A’-B’-D’,  AB  =A’B’,  BD = B’D’,  AC = A’C’, dan  BC = B’C’. Buktikan CD  = C’D’.  

Perhatikan  segitiga ABC dan segitiga A’B’C’. Karena AB+A’B’, AC=A’C’ dan BC=B’C’ maka segitiga ABC = segitiga A’B’C’ (Ss-Ss-Ss).  Akibatnya :  s CBD =s C’B’D’. Perhatikan  segitiga CBD dan segitiga C’B’D’. Karena BD=B’D’ s CBD = s C’B’D’. Dan BC=B’C’ maka segitiga CBD = segitiga C’B’D’ (Ss-Sd-Ss).  Akibatnya CD=C’D’. Terbukti.