RING

Bila didefinisikan Q(akar 2 ) = { a + b akar 2 I a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa

Q(akar 2 ) merupakan ring bagian dari R.

Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(akar 2 ) juga himpunan yang

tidak kosong.

Terhadap operasi pergandaan bersifat

( a + b akar 2 ) ( c + d akar 2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) akar 2

dan terhadap operasi pengurangan bersifat 5

( a + b ) akar 2 – ( c + d )akar 2 = ( a – c ) + ( b – d ) akar 2

Karena ac + 2bd, ad + bc, a – c dan a – d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasil

pengurangannya tetap dalam Q (akar 2 ).

Oleh karena itu Q (akar 2 ) merupakan ring bagian dari R. Perlu dicatat bahwa Q (akar 2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleks

C = { a + b i I a, b dalam R }

karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b akar 2 dan dalam hal ini ring Q (akar 2 )

mengandung Q, seperti juga C mengandung R.

Diketahui A ring dan b anggota tertentu dari A.

Jika didefinisikan Cb = { x dalam A I bx = xb } maka akan dibuktikan Cb ring bagian

dari A.

Himpunan Cb tidak kosong karena b komutatif denagn dirinya sendiri.

Misalkan x, y dalam C.

Karena ( xy )b = x ( yb ) = x ( by ) = ( xb ) y = ( bx ) y = b ( xy ) dan juga ( x – y )b = xb – yb = bx – by = b ( x – y )

maka berarti xy dan x – y komutatif dengan b sehingga merupakan anggota C.

Oleh karena itu Cb tertutup terhadap operasi penjumlahan dan operasi pergandaan dan

akibatnya Cb ring bagian dari A. Dapat dibuktikan bahwa Q(akar 2) = {a + b akar 2 I a, b dalam Q} merupakan rin bagian dari R.

Dapat juga diuji bahwa 1 + 0 akar  2 anggota satuan dalam Q(akar 2). Karena Q(akar 2) ring bagian, komutatif dan tidak mempunyai pembagi nol maka Q(akar 2) daerah integral. Misalkan

diambil a + b akar 2 tdk = 0 maka a – b akar 2 juga tidak nol.

Akibatnya dengan merasionalkan penyebutnya didapat

(1/a+b akar 2) ((a-b akar 2) / (a-b akar 2)) = ((a-b akar 2) / (a^2 – 2b^2)) = (a / a^2 – b^2) + ((-b)/ a^2 – b^2)) . akar 2

Hal ini a^2 – 2b^2 bilangan rasional dan tak nol

merupakan anggota Q(akar 2). Hal itu berarti setiap anggota Q(akar 2) mempunyai invers

terhadap pergandaan dalam Q(akar 2) dan berarti Q(akar 2) field

Misalkan R ring dengan operasi tambah dan kali, serta misalkan bahwa identitas untuk operasi jumlah dan kali berturut-turut adalah 0 dan 1, maka setiap a, b, c anggota R, kita peroleh:

(a) kita dapat menulis,

a0 = a(0 + 0) [ sifat unsur 0 di R ]

a0 = a0 + a0 [ sifat distribusi kanan ]

0 + a0 = a0 + a0 [ sifat unsur 0 di R ]

a0 = 0 [ karena R grup terhadap +, maka –a0 di R, tambahkan

kedua ruas dengan –a0 ]

Dengan cara sama, 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a, dengan menggunakan sifat

distribusi kiri, diperoleh 0a = 0.

(b) Pertama-tama akan ditunjukkan a(-b) = -(ab). Perhatikan bahwa:

ab + a(-b) = a[b + (-b)] = a0 = 0 (dengan menggunakan sifat distribusi kanan

dan bagian (a) pada lemma ini. Dengan demikian diperoleh bahwa a(-b) = -ab.

Dengan cara sama ab + (-a)b = [a + (-a)]b = 0b = 0, diperoleh (-a)b = -ab.

(c) (-a)(-b) = -(a(-b) (menurut bagian (b))

= -(-(ab)) (menurut bagian (b))

= ab

(d) a(b – c) = a[b + (–c)] (definisi operasi pengurangan)

= ab + a(-c) (sifat distibusi kanan)

= ab + (-ac) (menurut bagian (b))

= ab – ac (definisi operasi pengurangan)

Dengan cara sama (a – b)c = ac – bc.

(e) Misalkan bahwa R mempunyai unsur kesatuan 1, maka:

a + (-1)a = 1a + (-1)a

= [1 + (-1)]a

= 0a

= 0

Ini berarti bahwa (-1)a = -a.

(f) Jika dipilih a = -1 pada bagian (e), diperoleh (-1)(-1) = 1.

Contoh Misalkan R=Z5, Buktikan bahwa R=Z5 merupakan ring pembagian.

Tunjukkan bahwa <Z,+,•>, <Q,+,•>,<R,+,•> merupakan daerah integral

Tunjukkan bahwa <Z6,+,•> bukan daerah integral

Buktikan bahwa jika R adalah ring tanpa pembagi nol jika dan hanya jika hukum penghapusan berlaku.

Buktikan bahwa jika R adalah lapangan, maka R merupakan ring tanpa unsur pembagi nol.

Bukti

Misalkan R lapangan, maka R merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan dimana setiap unsur tak nolnya memiliki invers di R terhadap operasi perkalian.

Ambil a, b dua unsur sebarang di R, dengan ab=0. Sekarang jika a≠0, maka

a-1 ada, sehingga ab=0 mengakibatkan a-1(ab) = a-10 sehingga kita punya

b=0. Jadi jika a tdk = 0, ab=0, maka b=0. Dengan cara sama bila b≠0, maka b-1

ada, sehingga ab=0 mengakibatkan (ab)b-1 = 0b-1 sehingga kita punya a=0.

Dengan demikian jika b tdak =0, ab=0, maka a=0. Sehingga dapat disimpulkan

bahwa R tanpa pembagi nol.

Teorema 2.2.5. Daerah Integral (D) yang hingga merupakan lapangan.

Bukti

Sebelum kita membuktikan teorema ini, kita kembali pada pengertian daerah

integral merupakan ring komutatif sedemikian sehingga ab=0 jika dan hanya jika

paling sedikit satu dari a=0 atau b=0. Sedangkan lapangan merupakan ringkomutatif dengan unsur kesatuan yang mana setiap unsur tak nol mempunyai

invers. Dengan demikian untuk membuktikan bahwa daerah integral yang hingga

itu merupakan lapangan, kita harus menunjukkan bahwa

(a) 1 anggota D, sedemikian sehingga a1=a, untuk setiap a anggota D.

(b) untuk setiap a tidak = 0, a anggota D, terdapat b anggota D, sedemikian sehingga ab=1.

Misalkan {x1, x2, …, xn}adalah semua unsur-unsur D dan misalkan a tdk = 0 anggota D. karena

D ring, maka x1a, x2a, …, xna semuanya juga termuat di D.

Claim x1a, x2a, …, xna semuanya berbeda. Ambil xia, xja dua unsur D dengan xia = xja untuk i tidak = j, maka (xi - xj)ja=0. Karena D daerah integral dan a tidak = 0, maka xi - xj = 0,

sehnigga xi = xj. Kontradiksi dengan xi  tidak = xj.untuk i≠j. Jadi x1a, x2a, …, xna

semuanya berbeda. Dengan demikian D tepat mempunyai n buah unsur yang berbeda. Dengan kata lain untuk setiap y anggota D, dapat ditulis sebagai y = xia, untuk suatu xi  anggota D. Karena a anggota D, maka a=xioa, untuk suatu xio anggota D. Karena D komutatif, maka a = xioa = axio. Sekarang jika sebagai y = xia, untuk suatu xi anggota D, dan y xio= (xia) xio= xi (a xio) = xi a= y. Jadi xio merupakan unsure kesatuan dari D dan kita tulis 1.

Sekarang 1anggota D, dengan menggunakan fakta bahwa setiap unsur di D, merupakan perkalian dengan suatu unsur lain dengan a. Dengan kata lain 1anggota D, maka terdapat b anggota D, sedemikian sehingga 1=ba, dan karena D komutatif maka 1=ba=ab. Dengan demikian teorema telah terbukti.

Akibat 2.2.6. Zp Lapangan jhj p bilangan prima.

Teorema 2.2.8 Setiap lapangan adalah daerah integral

Bukti

Misalkan F adalah lapangan, maka F adalah ring komutatif. Selanjutnya ambil a, b

unsur-unsur sebarang di F dengan ab=0.akan ditunjukan bahwa a=0 atau b=0.

Misalkan a tidak = 0, karena F lapangan maka a-1 anggota F. Dengan demikian a-1 (ab)= a-1 0=0., atau b=0. Dengan cara sama ditunjukkan jika b anggota 0 maka a=0

Definisi

Daerah Integral D dikatakan mempunyai karakteristik 0 (nol) jika na = 0, dengan a  tidak = 0dan n bilangan bulat hanya dipenuhi oleh n=0.

Latihan

Selidiki apakah Z, Q, R, C dan Zn mempunyai karakteristik nol.

Definisi

DaerahIintegral D dikatakan mempunyai karakteristik hingga jika

terdapat bilangan bulat positif n sehingga na=0, ∀a∈D

Teorema 2.2.9. Karakteristik daerah integral yang hingga selalu hingga.

Bukti

Misalkan D adalah daerah integral yang hingga dan misalkan 1 unsur kesatuan di D,

maka menurut definisi karakteristik D akan hingga atau tak hingga. Dengan

demikian order dari 1 (D dipandang sebagai grup komutatif terhadap operasi

penjumlahan) adalah 0 atau hingga. Sekarang karena order setiap unsur grup hingga

adalah hingga, dan karena 1 unsur D, maka order dari 1 hingga sebut n,yaitu n1 =

0. Sekarang ambil a anggota K sebarang, maka,

na = a + a+ …+a sebanyak n suku

= 1a+ 1a+ …+1a sebanyak n suku

= (1 + 1+ … + 1) a

= (n1)a

= 0a (karena n1=0)

= 0 (karena 0 a = 0, setiap a  anggota D)

Jadi n adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga na = 0, setiap a anggota D. Karenanya karakteristik dari D hingga.

Teorema 2.2.10. Jika D integral domain, maka karakteristik dari D adalah 0 atau prima.

Bukti

Misalkan D adalah integral domain dan a sebarang unsur D. Sekarang kasus

jika order dari a adalah 0, bila D dipandang sebagai grup terhadap operasi

penjumlahan, maka karakteristik dari D adalah 0. Dengan ini teorema telah

terbukti. Selanjutnya jika order dari a adalah hingga sebut n, bila D

dipandang sebagai grup terhadap operasi penjumlahan, maka karakteristik

dari D adalah n dan akan kita tunjukkan bahwa D merupakan bilangan

prima. Andaikan n komposit, dan misalkan n = n1n2 dengan n1 tidak = 1, n2 tidak 1 dan n1 < n, n2 < n. Sekarang karena n merupakan karakteristik dari D, maka n merupakan bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga na=0, anggota a anggota D,

a tidak = 0. Sehingga kita punya

na = 0

n1n2 a = 0

(n1n2 a)b = 0b, anggota b anggota D, b tidak = 0.