SUB RIng

Definisi :

Suatu himpunan R yang tidak kosong merupakan subring dari ring ( R ; + ; x ) bhb terhadap operasi yang sama dengan R,  suatu ring dan R C R atau ( R ; + ; x ) suatu subring dari ( R ; + ; x ) berhubungan R C R dan  memenuhi 2 sifat :

1.      R’ tidak = 0

2.      (setiap a,b anggota R) (a-b) anggta R

3.      (setiap a,b anggota R) (a-b) anggta R

·         Syarat (1) menyatakan bahwa (;+) adalah merupakan suatu Grup Komutatif.

·         Syarat (2) menyatakan bahwa ( ) adalah merupakan suatu Semigrup. Sehingga dapat kita katakan bahwa syarat-syarat tersebut telah memenuhi syarat dari suatu Ring. Dikarenakan   adalah himpunan bagian dari R C R, maka   dapat dikatakan sebagai Subring dari R.

Contoh :

1.      Misalkan P= {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring, tunjukan bahwa Q = {0, 2} adalah Subring dari P.

Penyelesaian :

Akan ditunjukan bahwa Q = {0, 2} memenuhi syarat-syarat dari suatu Ring.

(i). Q tidak = 0 karena Q = {0, 2}

1.      (ii).  (setiap a,b anggota R) (a-b) anggta P

 Misal : 0 , 2 C P => 0 – 2 = 2 => 2 C P

            (iii).(setiap a,b anggota R) (a x b) anggta R

  Misal : 0 , 2 C P => 0 x 2 = 0 => 0 C P

Syarat (i) , (ii) , (iii) terpenuhi maka Q adalah subring dari P

2.      Diketahui himpunan bilangan Prima ( P ; + ; x ) dan ring dari himpunan bilangan cacah ( C ; + ; x ). Selidiki apakah ( P ; + ; x ) Subring dari (C ; + ; x ).

Penyelesaian :

Akan dibuktikan bahwa P subring dari ( C ; + ; x ).

(i).  P tidak = 0karena P = { 2, 5, 7, 11, 13,.....}

1.      (ii). (setiap a,b anggota R) (a-b) anggta P

 Misal : 5 , 7 C P  => 7-5 = 2 => 2 C C

4.      (iii). (setiap a,b anggota R) (a x b) anggta P

  Misal : 7 x 5 = 35=> 35 C C

Karena Syarat (i) , (ii) , (iii) terpenuhi maka  ( P ; + ; x ) adalah subring dari  ( C ; + ; x ).

3.      Diketahui Matrik (x 0, y z) I setip x,y,z anggta B. terhadap operasi penjumlahan dari penggandaan matriks. Apakah subring dari ring matriks M ordo 2 ?

Penyelesaian

Akan dibuktikan Matrik (x 0, y z) I setip x,y,z anggta Bsuatu subring dari ( M ; + ; x )

M’ C M  atau Matrik (x 0, y z) C Matrik (x 0, y z)

(i). M’ tidak = 0 karena Matrik (x 0, y z) I setip x,y,z anggta B

(ii). Ambil Matrik (x1 01, y1 z1) anggota M’  Matrik (x2 02, y2 z2)

      Dengan x1, y1, z1, x2, y2, z2

Matrik (x1 01, y1 z1) -  Matrik (x2 02, y2 z2) = Matrik (x1-x2 0, y1-y2 z1-z2)

Sehingga (x1-x2 0, y1-y2 z1-z2)

Karena semua merupakan anggota B maka anggota M’

 (iii). Matrik (x1 01, y1 z1) -  Matrik (x2 02, y2 z2)

= Matrik (x1.x2   0, y1x2+y2z1          z1z2)

sehingga

= Matrik (x1.x2   0, y1x2+y2z1          z1z2) anggota M’