tugas

Dua baris sejajar ke jalur yang sama yang sejajar satu sama lain

Bukti

AB//cd dan cd//ef, adib ab//ef

Berdasakan sifat transitas Ab // cd dan cd//ef, maka ab//ef,

jika garis memotong dari garis sejajar, maka memotong lainnya

mis dik  m//n, dan l memtong m

adib l memotong m

andaikan l tidak memotong m dan n , terdapat 2 kemungkinan, l//n//m, l berimpit dg m, n.

TMKB misalkan l//m//n, maka etrdapat titik persekutuan pada garis m,n dan l tidak memotong l dan m. Hal ini kontradiksi dengan yg diketahui. Jadi haruslah l metotong m dan n, karena m//n dan berdasarkan definisi yng dieprpanjang tak terhingga.

setiap diagonal dari partisi jerjang genjang menjadi sepasang segitiga kongruen

dik jajar genjang ABCD, kemudian jajargenjang dipersitisi melalui diagonal AC, sehgga terbentuk segitiga ABC dan segitiga ACD

adib ABC=ACD

pandang segitiga ABC dan ACD

s DAC = ACB (s dalm bersebrangan)

AC= ac (berimpit)]

S DAC = CAB (s dalam bersebrangan)

Akibat segitiga ABC = Acd (s.sd.c)

Diagonal jajar genjang saling membagi dua lainnya

Diketahui jajar genjang ABCD dg digonal Ac dan Bd

Adib AC membagi BD sama panjang

Bukti: berdasrkan teoreman segitiga = ACD

Pandang segitiga DOC dan segitiga AOB

S dob = aob (s bertolak belakang)

S abo = odc (s dlm bersebranag)

Ab= cd (akibat dari segitiga ABC = ACD)

Maka segitg DOC = segitg AOB

Akibatnya dari segitiga DOC = AOB maka OD=ob

Jdi trbukti bahwa ac membagi DB = ob+od, menjadi 2 sama panjang

jika Diagonal dari segiempat membagi dua sama lain, maka segiempat adalah jajar genjang.

Dik jajar genjang PQRS, dg PR dan QS sebagai diagonal

Berdasarkan pembuktikan teorema SO=OQ dan Op=or (segitiga POQ=Sor)

Karena diagonalnya membagi 2 sama lain lagi sama panjang malka segiempat PQRS adalah jajar genjang

jika ruas garis memiliki titik ujungnya titik tengah dari dua sisi segitiga, maka ruas garis sejajar dengan garis memuat sisi ketiga ½ panajng sisi ketiga

dik segitiga PQC dan segitiga ABC dan P dan Q midpoint ac dan Bc, shg cp=ap dan cq= bq

1.                  pq=1/2 ab

2.                  pq//ab

bukti 1. Pq=1/2 ab

panadang segitiga PQC dan abc (sebangun)

berdasarkan syarat sebgaun yitu sisi-sisi yang ebrsesuaian sebannding, maka

PQ/AB=cp/ca

Pq/ab= ½

Pq= ½ ab

Bukti 2. Pq//ab

Pandang segitiga PQC, perpanjang pq sejauh garis PQ dapt P-Q-R hubungjkan titik R dg B.

Pandang segitiga PQr dan BRQ

BQ=BQ

S s BQR = s Pqc (bertolak belakang

Qr= pq (kontruksi)

Maka segitoga PQR = BRQ

Sehingga diperoleh:

BR + PC dan PC = AP, maka BR=AP

Karena BR= AP, dan AB + PQ+QR

AB = PR maka, ABRP jajar genjang

Berdasarkan definisi jajar genjang maka PR//AB atau PQ//AB

Diagonal dari ketupat tegak lurus. (belah ketupat adalah segiempat yang keempat sisinya adalah kongruen)

Dik PQRS adalah belah ketupat.

Adib: SO tegak lurus PR

Pandang segitiga SOR dan RoQ

Sr=rq (def)

Akibatnya so=oq

S sor= qor

Or=or

Maka sor = roq

Karena s SOR = QOR dan SOQ=180 (s pelurus)

Maka s SOR = ½  x s SOQ

S SOR =  90, akibatnya SO tegak lurus OR.

jika Diagonal dari segiempat membagi dua satu sama lain dan tegak lurus, maka segiempat adalah belah ketupat.

Dik segitiga ABCD dan DO tegak lurus OC

Adib: segi empat ABCD adalah belah ketupat, berdasarkan pembuktian teorema , s DOC= BOC = 90, maka DO tegak lurus OC dan BO tegak lurus OC

Jadi terbuktu segieempat ABCD adalah belah ketupat.

jika dalam segitiga siku-siku, salah satu sudut berukuran 30, maka sisi berlawanan sudut ini adalah satu-setengah panjang sisi miring.

Diketahui segitiga ABC adalah segitiga sama sisi, dg AB = BC = Ac

S A=B=C=60

CD tegak lurus AB, maka CD merupakan garis tinggi sekaligus garis bagi s C, shgg s ACD=BCD=30 dan s ADC = BDC=90

Adib; ½ BC

Titik D adalah titik tengah AB, shg AD=BD

AD=BD= ½ AB

AD=BD= ½ AC, sebab AB=AC

AD=BD= ½ BC , sebab AB=BC

Panadng segitiga BCD

Karena s DCB menghadap BD dan sisi BC adalah miring . maka daoat disimpulkan bahwa, BD= ½ BC

Jika satu kaki segitiga siku-siku adalah setengah panjang sisi miring, ketika sudut berlawanan kaki yang memiliki ukuran 30

Homomorfisma

Contoh:

1.      Mis G gruop bil reil R + terhadap operasi perkalian (R+, x)                           Q dibaca SIE

G^1 grup bil rel R terhadap operasi +

Q ; G ke G^1 didefinisikan dg Q(x) = log x, unt setiap x angg G

Bukti:

Adit: Q (x.y) =(?) Q (x) + Q (y)

Q(x) = log x

Q(y) = log y

Q(xy)= log (xy)

            = log x + log y

Q(xy)= Q9x) + Q(y)

Karena Q(xy) =  Q9x) + Q(y) unt setiapp x,y angg G

Maka Q: G ke G¹ adalah homomofisme

2.      Apakah Q ; G ke G^1 berupa Isomofisme?

Jawab:

i.                    Adit Q injektif

Q(x)=Q(y) maka x=y

Q(x)=Q(y)

Log x = log y

X=y (kedua logaritma hasilnya sama berarti bil yang logaritmakan adalah sama)

ii.                  Adit Q surjektif

Ambil sebarang z angg G^1 ,, x =10^y

Maka Q(x) = log x

Q(X) = log 10 ^y

Q(x)= y

Dari pers i dan ii mka Q ; G ke G¹ adalah Isomofisme

3.      Mis G himp bil bulat tak nol terhadp opersi x membentuk grup

G^1 = (1,-1) grup terhadap operasi x

Pemetaan  Q : G ke G^1 didefinisikan oleh

Q(x) = 1, x>0 dan -1, x<0

Buktikan Q homofisme

Bukti

Kasus 1) x > 0, y >0

x>0 maka Q(x)=1

y >0 maka Q(y)=1

xy>0maka Q(xy) = 1

            = 1.1

            =Q(x) Q(y)

Kasus 2) x>0, y<0

=-1

Kasus 3) X<0, y>0

=-1

Kasus 4) x<0, y<0

=1

4.      Mis. (Z, +) grup

a.       Jika beta ; Z ke Z didefinisikan dg beta (x)=2x, unt setiap Z , buktikan beta endomomorfisme

b.      Jiak beta ; z ke z didefinisikan dengan beta (x) = x, unt setiap x anggo Z, bukti beta  antomorfisme

Bukti

a.       Ambil serarang x,y angg Z                                                            B= TETA

B (x) = 2x

B (y) = 2y

B(x+y)= 2 (x+y)

= 2x + 2Y

= b(x) + b(y)

Karena b (x+y) = b (x) + B (y) untuk setiap x,y angota Z

Dan b;Z ke Z maka beta endodomorfisme, tpi tidak surjeektif

b.      I) adit : b homomorfisme

ii) beta ijektif dan surjektif

i.                    B(x) = -x, b (y)=-y

B (x+y) = - (x+y)

      = -x-y

      =-x + (-y)

      =b(x) + b (Y)

ii.                   Adit beta ijektif dan surjektif

-          Ambil sebarang x,y angg Z

B (x) = B (Y)

-x=-y

-1.x=-1.y

X=y (konselasi kiri)

Maka b injektif

-          Ambil sebrang  y ang Z

Pilih x ang Z , x = _y

B (X) = -(-y)

B(x)=y

Maka b surjektif

Karena b endomorfisme dan b injektif dan b surjekti maka b antromorfisme

5.      Apakah setiap grup dari grup abeluan adalah grup normal?

Jawab: iya, buktinya

Miasalkan , G adalah grup abelian maka setiap x,y angg G

Berlaku x,y=y=x

n adalah sub grup G maka n subset G sehingga n angg N, maka n angg G. Adan karena G abel mk N juga berlaku setiap m,n angg N. Maka mn=nm

N dikatakan subgrup normal dari G (N subgrup normal G)

Jika a^-1 Na subset N, unt a angg G

Ambil sebrang P angg a^-1 Na dg A ngg G

P = a^-1 na, n ang N

P = a^-1 an, komutaif karena G abel dan N ang N, N suset G maka n ang G

P= en , invers

P=n , sifat indentitas

Maka diperoleh p angg N, karena P angg a^-1 Na dan P ang N

Mak sifat a^-1Na subset N

Sehg terbukti N subgrup Nrmal dari G

6.      G grup siklis, jika ada a ang G ada G =<a>

<a>  = (a^n l a c G) (x, kali)                            c di baca subset

<a>=(n.a l a angg G) (+, tambah)

Adit: <a> grup abel

-          Ambil sebrabg x,y angg <a>

Adit xy=yx

Bukti x ang <a>  maka x = a^m

            Y ang <a> maka y = a^n

            Xy= a^m + a^n= a ^m+n = a^n . a^m = y.x

-          X angg <a> maka x = n.a

Y ang <a> maka y = m.a

X+y= na+ma

= a (m+n)

= ma + na

=y + x

7.      Beta : Z ke Zn, dg b(a)=(a) dari a ang Z, maka b (a+b) =(a+b)= (a) +(b)= b(a)+b(b), unt setiap a,b ang Z. Homomofisme

Adid homofisme

B (a+b) = (a+b) =(a)+(b)=b(a)+b(b) un unt setiap a,b ang Z.

Adib:

B(a+b)= (?) b(a) + b(b)

B(a)= (a)

B(b)=(b)

B(a+b)=(a+b)

B(a+b)= (a)+(b)

            = b(a)+b(b)

Karena B(a+b)= b(a)+b(b) unt setia a,b ang Z maka Z ke Z adalaha homofisme

Adib surjektif

Untuk setiap c ang Zn, ada a ang Z maka b(a)=c

Ambil sebrang c ang Z pilih c ang Z pilih c =(a), maka

B(a)=(a)

B(a)=c

8.      Definisi b; Z ke Z by b(a)=2a untuks etiap a ang Z. Maka b(a+b)= 2(a+b)=2a+2b= b(a)+b(b) untuk setiap a,b ang Z. Homofisme

Adib homofisme

B(a+b)=(?) b(a) +b(b)

B(a)=2a

B(b)=2b

B(a+b)=2(a+b)

            =2a+2b

            = b(a)+b(b)

Karena b (a+b)= b(a)+b(b), untuk setiap a,b ang z, maka b;Z ke Z adalah homomofisme

Homofisme injektif

Ambil sebarang a,b ang Z maka

Adib: b(a) =(?) b(b)

2a=2b

A=b (kensel kiri)

Terbukti b(a)=b(b) maka a=b

9.      Dari r ang R, def Pr:R ke R by Pr(a)=ar untuk setiap a ang R. Maka homofisme , Pr(a+b)=(a+b)r=ar+br=Pr(a)+Pr(b) untuk setiap a,b ang R. Buktikan (a+b)r=ar+br

Jawab:

Homomofisme Pr:R ke R

i.                    Adib injektif

Ambil sebrang a,b ang R maka

Adib Pr(a)=Pr(b)=(?) ar=br

Pr(a)=Pr(b)

Ar=br   terbukti

ii.                  Adib surjektif

Untuk r ang R, untuk c ang R ada cr ang R

Untuk cr ang R, ada a ang R maka Pr(a)=cr

Ambil sebrang cr anng R

Pilih a ang R , a=c

Pr(a)=ar

Pr(a)=cr     terbukti

10.  Apakah semua subgrup S3 adalah subgrup normal?

Jawab tidak.

Himp S3= ( (1), (1,2), (1,3), (2,3), (123), (132) )

Untuk membuktikan subgrup normal haruslah koset kiri=koset kanan

Ambil sebarang , misalkan (1) dan (1.3)

-          Koset kanan

H o (1) = ( (1) , (1,3))

H o (a) = H O (1.2)= Ho (123)

            = ( (1) o (12), (13) o (12)

            = ((12) (123))

H o (a) = H o (23) = H o (132)

            = ((1) o (23), (13) o(23

            = ((23) o (132))

Koset kiri

(1)   o H = ((1) , (13))

(a)    o H = (12) o H

=((12) o (1) , (12) o (13)

= ((23) o (123)

Jadi koset kiri tidak sama dengan kosed kanan

11.  b(a) adalah subgrup dari H

adib b G sugrup H , b(aob) = b(a) #b(b)

two steps subgrup test

a.       b(a) tidak sama dengan Himpunan kosong

jelas, karena G grup dan ada e_G ada b (e_G) = e_H

b.      b(G) cubsed H

b(G)= (b(a) l a ang G)

setiap b(a) ang b(G) maka b(a) ang H

berarti b(a) sused H

c.       ambil sebarang

x,y ang (G)

x ang b(G) artinya ada a ang G ada x = b(a)

y ang b(G) artinya ada b ang G ada y = b(b)

karena himpunannya di H maka operasi yang digunakan #

x # y    = b(a) # b(a)

            = b(a o b)

Ang b(G)

Setiap ang b(G) artinya ada a ang G ada  x = b(a)

X = b (a)

X^-1 = b (a)^-1

= b (a^-1)

Ang b (G)

Terbukti b (k) subsed H

            B= k ke H                 b homomofisme

Tunjukkan secara one-step

Ambil sebrang x.y ang b(G)

Adib xy^-1 ang b(G)

X ang b (G) ke ada a ang G, ada b(a)=x

Y ang b(G) ke b ang G , ada b(b)= y

B(b)=y

(b(b)^-1 = y ^-1

X # y^-1 = b (a) # ( b (b))^-1

            = b (a) # (b(b^-1)

            = b (a # b^-1)

            Ang b (G) , a o b^-1 ang G

KERNEL

1.      R dan S masing-masing grup

R x S = ((r,s) l r ang R dan s ang S)

b : R x S ke R yang didefinisikan dengan b (r,s)

a.       Tunjukkan bahwa b suatu homomorfisme

Ambil sembarang (r1, s1) dan (r2, s2) ang R x S

Dengan:

(r1, s1) = (r2, s2)

B(r1, s1)= b (r2, s2)

 r1 = r2

adit homorfisme

mis

# operasi di R x S

b operasi di R

b((r1, s1) # (r2, S2)) = b (r1 o r2) , s1 o s2)

                              = r1 o r2

                              = b (r1, s1) o b (r2, s2)

Jadi b homorfisme

b.      Tentukan kernel b

Ker b         = ((r,s) l b (r,s) = e_R)

                  = ((e_R s ) l e_R ang R dan s ang S) , b (e_R x s) = e_R

                  = ( e_R) x s

2.      Mis G = Z-(0) terhadap operasi x

G^1 = G

0I ; G ke G^1 dengan 0I (x)=x^2         0I baca himpunan kosong

a.       Tunjukan 0l homorfisme

Ambil sebrang x,y ang G = Z-(0)

0l (x) = x^2

0l (y) = y ^2

0l(xy)= (xy)^2

      = x^2 y^2

      =0l(x) 0l(y)

b.      Ker 0l

Ker 0l = (x ang G l  0l (x) = e_G^1)

Diperoleh

      0l(x)= x^2

         1= x^2

       X^2= 1

      X= +- akar 1 = +- 1

Jadi ker 0l = (x ang G l x=1 atau x= -1)

GRUP FAKTOR

1.      G/N himp koset (kiri/kanan) dari N di G maka G/N terhadap operasi

NaNb= Nab

Merupakan suatu yang tersebut grup faktor (kosien) dari G oleh N

G/N                 G

Ne=N              e

Na                    a

Nb                   b

Nab                  ab

Bukti G/N = (Na l a ang G)  berupa koleksi himpunan

i.                    Adit G/N  tertutup, terhadap operasi “o”

Ambil Na, Nb ang G/N

(Na) (Nb)         = N (aN) b

                                    = N(Na)b                     (N subgrup normal G)

                                    = NNab

                                    = Nab                          (NN=N)

G/N tertutup terhadp oerasi “o”

ii.                  Adit G/N  t=asosiatif

Ambil sebarang Na, Nb, Nc ang G/N

((Na)(Nb)) (Nc) = (Na) ((Nb)(Nc)

(Nab) (Nc) = (Na) (Nbc)

NNabc = NNabc

Nabc=Nabc

iii.                Indentitas

Ambil sebarang N x G G/N

Adit; NaNx = Na

NaNx=Nax

Haruslahlah x=e

NaNx   = (Na) (Ne)

                        = N (Na)e

                        = NNae

                        = Nae

Ada(Ne) elemen indentitas

Bukti:

NaNe   = N (Na) e

                        = N(Na) e

                        = Nae

                        =Na

iv.                Invest

Adit ada Na ang G/N , ada Na^-1 ang G/N

NaNa^-1 = Ne= N

Bukti

(Na) (Na^-1)    = N (aN) a^-1

                                    = N(Na) a^-1

                                    = Naa^-1

                                    = Ne

                                    = N

Dari i – iv terbukti Grup

2.      Mis G = (Z,  +)

H= ( 4Z l Z ang Z)

H= (...,-8, -4, 0, 4, 8...)

Koset-koset kanan dari H

H+0=(..., -8, -4, 0, 4, 8,...)= 0+H

H+1=(..., -7, -3, -1, 5, 9,...)=1+H

H+2=(..., -6,-2,2, 6, 10,...)=2+H

H+3=(..., -5, -1, 3, 7, 11)= 3+H

G/H maka Z l 4Z= (H+0, H+1, H+2, H+3)

Himpunan koset kanan dari H di G

-          Apakah 4Z subbgrup Z ? ya,, karena setiap grup abelian merupakan sebgrup normal

-          Apakah Z / 4 Z grup ? ya,

(H+1) + (H+2) = H (1+2)

3.      Jika G suatu grup berhingga, berapakah tingkat (order) dari G/N?

Jawab

G/N          = koleksi semua koset dari N dalam G

                 = koleksi semua koset kanan N dalam G

Elemen dar G/N adalah subsed dari G. Jika G finit, maka order dari G/N adalah banyaknya koset kanan dari N dalam G. Atau disebut indeks dari N dalam G.

Jadi t (G/N)          = banyaknya koset kana dari N dalam G

                             =indeks dari N dalam G

                             = i G(S)

                             = t(G)/t(N) (akibat teorema langrarange)

4.      Diketahui: G = (a, a^2, a^3, ..., a^12=e) adalah grup siklik

                        S = (e, a^3, a^3, a^9) subgrup normal dar G

Dit G/S . . .?

= koleksi semua koset dari S dalam G

= Koleksi semua koset kanan dari S dalam G

Koset-koset kanan dari S dalam G adalah :

Se = (ee, a^3, a^6 e, a^9e) = ( e, a^3, a^6, a^9) = S

Sa= ( ea, a^3a, a^6a, a^9a)=(a, a^4, a^7, a^10)

Sa^2= ( ea^2, a^3a^2, a^6a^2, a^9a^2)=(a2, a^6, a^8, a^11)

Sa^3 = . . . .  .

.

.

.

Sa^12= ( ea^12, a^3a^12, a^6a^12, a^9a^12)=(a^12, a^2, a^15, a^8)= Sa^2

Jadi koset-koset kanannya yang berbeda

1.      Se= Sa^3 = Sa^4= S^9= S (e, a^3, a^6, a^9)

2.      Sa = S^4.....................=(a,a^4, a^7, a^10)

3.      S^2=.....................=(a^2, a^6, a^8,a^11)

Jadi G/S = ( S, Sa, Sa^2)

4.      Diketahui: G (P, P2,P3,P4,P6) grup dari himpunan permutasi terhadap perkalian permutasi dengan:

P1=(123, 123)             P2=(123,231),             P3=(123, 312)             P4=(123, 132)

P5=(123, 321)             P6=(123, 213)

Dit:

a) t(G/S) = ... ?

            t(G) = 6

            t(S)= 3

            t(G/S) = t(G)/t(S)= 6/3 = 2

b)      G/S

 = koleksi semua koset dari S dalam G

= Koleksi semua koset kanan dari S dalam G

Koset-koset kanan dari S dalam G adalah:

SP1= (P1P1), P2,P1,P3P1)=(P1, P2, P3)= S

SP2=(P1P2, P2P2,P3P2)= .....

            P1P2=(123, 123) (123, 231) = (231)=P2

            P2P2=(231) (231) = 231= P3

            P3P2= ( 312)(231)= (123)=P1

Jadi SP2= (P2, P3, P1)= S

SP3      = (P1P3, P2P3, P3P3) = ....

P2P3= (231)(312)=123=P1

P3P3=(312)(312) = P2

Jadi: SP3= (P3, P1, P2)=S

            SP4      = (P1P4, P2P4, P3P4)=....

                        P2P4=(231)(132)=(213)

                        P3P3= (312) (132) = 321=P2

                        Jadi SP4= (P3,P1,P2)

            SP5= (P1P5, P2P5, P3P5)=.....

            P2P5= (231) (321) =132 = P4

            P3P5= (312) (321) = 213 = P6

            Jadi SP5 = (P5, P4, P6) = SP4

           

            SP6= (P1P6, P2P6,P3P6)

            P2P6= (231) (213) = (321) = P5

            P3P6=(312) (213) =(132) = P4

            Jadi SP6 = (P6, P5, P4)=SP4

            Jadi koset-koset kananya yang berbeda adalah

1.      SP1= SP2=SP3 = S= (P1, P2, P3)

2.      SP4= SP5 = SP6= (P4, P5, P6)

Jadi G/S = ((P1,P2,P3), (P4,P5,P6))