Homomorfisma

Contoh:

1.      Mis G gruop bil reil R + terhadap operasi perkalian (R+, x)                           Q dibaca SIE

G^1 grup bil rel R terhadap operasi +

Q ; G ke G^1 didefinisikan dg Q(x) = log x, unt setiap x angg G

Bukti:

Adit: Q (x.y) =(?) Q (x) + Q (y)

Q(x) = log x

Q(y) = log y

Q(xy)= log (xy)

            = log x + log y

Q(xy)= Q9x) + Q(y)

Karena Q(xy) =  Q9x) + Q(y) unt setiapp x,y angg G

Maka Q: G ke G¹ adalah homomofisme

2.      Apakah Q ; G ke G^1 berupa Isomofisme?

Jawab:

i.                    Adit Q injektif

Q(x)=Q(y) maka x=y

Q(x)=Q(y)

Log x = log y

X=y (kedua logaritma hasilnya sama berarti bil yang logaritmakan adalah sama)

ii.                  Adit Q surjektif

Ambil sebarang z angg G^1 ,, x =10^y

Maka Q(x) = log x

Q(X) = log 10 ^y

Q(x)= y

Dari pers i dan ii mka Q ; G ke G¹ adalah Isomofisme

3.      Mis G himp bil bulat tak nol terhadp opersi x membentuk grup

G^1 = (1,-1) grup terhadap operasi x

Pemetaan  Q : G ke G^1 didefinisikan oleh

Q(x) = 1, x>0 dan -1, x<0

Buktikan Q homofisme

Bukti

Kasus 1) x > 0, y >0

x>0 maka Q(x)=1

y >0 maka Q(y)=1

xy>0maka Q(xy) = 1

            = 1.1

            =Q(x) Q(y)

Kasus 2) x>0, y<0

=-1

Kasus 3) X<0, y>0

=-1

Kasus 4) x<0, y<0

=1

4.      Mis. (Z, +) grup

a.       Jika beta ; Z ke Z didefinisikan dg beta (x)=2x, unt setiap Z , buktikan beta endomomorfisme

b.      Jiak beta ; z ke z didefinisikan dengan beta (x) = x, unt setiap x anggo Z, bukti beta  antomorfisme

Bukti

a.       Ambil serarang x,y angg Z                                                            B= TETA

B (x) = 2x

B (y) = 2y

B(x+y)= 2 (x+y)

= 2x + 2Y

= b(x) + b(y)

Karena b (x+y) = b (x) + B (y) untuk setiap x,y angota Z

Dan b;Z ke Z maka beta endodomorfisme, tpi tidak surjeektif

b.      I) adit : b homomorfisme

ii) beta ijektif dan surjektif

i.                    B(x) = -x, b (y)=-y

B (x+y) = - (x+y)

      = -x-y

      =-x + (-y)

      =b(x) + b (Y)

ii.                   Adit beta ijektif dan surjektif

-          Ambil sebarang x,y angg Z

B (x) = B (Y)

-x=-y

-1.x=-1.y

X=y (konselasi kiri)

Maka b injektif

-          Ambil sebrang  y ang Z

Pilih x ang Z , x = _y

B (X) = -(-y)

B(x)=y

Maka b surjektif

Karena b endomorfisme dan b injektif dan b surjekti maka b antromorfisme

5.      Apakah setiap grup dari grup abeluan adalah grup normal?

Jawab: iya, buktinya

Miasalkan , G adalah grup abelian maka setiap x,y angg G

Berlaku x,y=y=x

n adalah sub grup G maka n subset G sehingga n angg N, maka n angg G. Adan karena G abel mk N juga berlaku setiap m,n angg N. Maka mn=nm

N dikatakan subgrup normal dari G (N subgrup normal G)

Jika a^-1 Na subset N, unt a angg G

Ambil sebrang P angg a^-1 Na dg A ngg G

P = a^-1 na, n ang N

P = a^-1 an, komutaif karena G abel dan N ang N, N suset G maka n ang G

P= en , invers

P=n , sifat indentitas

Maka diperoleh p angg N, karena P angg a^-1 Na dan P ang N

Mak sifat a^-1Na subset N

Sehg terbukti N subgrup Nrmal dari G

6.      G grup siklis, jika ada a ang G ada G =<a>

<a>  = (a^n l a c G) (x, kali)                            c di baca subset

<a>=(n.a l a angg G) (+, tambah)

Adit: <a> grup abel

-          Ambil sebrabg x,y angg <a>

Adit xy=yx

Bukti x ang <a>  maka x = a^m

            Y ang <a> maka y = a^n

            Xy= a^m + a^n= a ^m+n = a^n . a^m = y.x

-          X angg <a> maka x = n.a

Y ang <a> maka y = m.a

X+y= na+ma

= a (m+n)

= ma + na

=y + x

7.      Beta : Z ke Zn, dg b(a)=(a) dari a ang Z, maka b (a+b) =(a+b)= (a) +(b)= b(a)+b(b), unt setiap a,b ang Z. Homomofisme

Adid homofisme

B (a+b) = (a+b) =(a)+(b)=b(a)+b(b) un unt setiap a,b ang Z.

Adib:

B(a+b)= (?) b(a) + b(b)

B(a)= (a)

B(b)=(b)

B(a+b)=(a+b)

B(a+b)= (a)+(b)

            = b(a)+b(b)

Karena B(a+b)= b(a)+b(b) unt setia a,b ang Z maka Z ke Z adalaha homofisme

Adib surjektif

Untuk setiap c ang Zn, ada a ang Z maka b(a)=c

Ambil sebrang c ang Z pilih c ang Z pilih c =(a), maka

B(a)=(a)

B(a)=c

8.      Definisi b; Z ke Z by b(a)=2a untuks etiap a ang Z. Maka b(a+b)= 2(a+b)=2a+2b= b(a)+b(b) untuk setiap a,b ang Z. Homofisme

Adib homofisme

B(a+b)=(?) b(a) +b(b)

B(a)=2a

B(b)=2b

B(a+b)=2(a+b)

            =2a+2b

            = b(a)+b(b)

Karena b (a+b)= b(a)+b(b), untuk setiap a,b ang z, maka b;Z ke Z adalah homomofisme

Homofisme injektif

Ambil sebarang a,b ang Z maka

Adib: b(a) =(?) b(b)

2a=2b

A=b (kensel kiri)

Terbukti b(a)=b(b) maka a=b

9.      Dari r ang R, def Pr:R ke R by Pr(a)=ar untuk setiap a ang R. Maka homofisme , Pr(a+b)=(a+b)r=ar+br=Pr(a)+Pr(b) untuk setiap a,b ang R. Buktikan (a+b)r=ar+br

Jawab:

Homomofisme Pr:R ke R

i.                    Adib injektif

Ambil sebrang a,b ang R maka

Adib Pr(a)=Pr(b)=(?) ar=br

Pr(a)=Pr(b)

Ar=br   terbukti

ii.                  Adib surjektif

Untuk r ang R, untuk c ang R ada cr ang R

Untuk cr ang R, ada a ang R maka Pr(a)=cr

Ambil sebrang cr anng R

Pilih a ang R , a=c

Pr(a)=ar

Pr(a)=cr     terbukti

10.  Apakah semua subgrup S3 adalah subgrup normal?

Jawab tidak.

Himp S3= ( (1), (1,2), (1,3), (2,3), (123), (132) )

Untuk membuktikan subgrup normal haruslah koset kiri=koset kanan

Ambil sebarang , misalkan (1) dan (1.3)

-          Koset kanan

H o (1) = ( (1) , (1,3))

H o (a) = H O (1.2)= Ho (123)

            = ( (1) o (12), (13) o (12)

            = ((12) (123))

H o (a) = H o (23) = H o (132)

            = ((1) o (23), (13) o(23

            = ((23) o (132))

Koset kiri

(1)   o H = ((1) , (13))

(a)    o H = (12) o H

=((12) o (1) , (12) o (13)

= ((23) o (123)

Jadi koset kiri tidak sama dengan kosed kanan

11.  b(a) adalah subgrup dari H

adib b G sugrup H , b(aob) = b(a) #b(b)

two steps subgrup test

a.       b(a) tidak sama dengan Himpunan kosong

jelas, karena G grup dan ada e_G ada b (e_G) = e_H

b.      b(G) cubsed H

b(G)= (b(a) l a ang G)

setiap b(a) ang b(G) maka b(a) ang H

berarti b(a) sused H

c.       ambil sebarang

x,y ang (G)

x ang b(G) artinya ada a ang G ada x = b(a)

y ang b(G) artinya ada b ang G ada y = b(b)

karena himpunannya di H maka operasi yang digunakan #

x # y    = b(a) # b(a)

            = b(a o b)

Ang b(G)

Setiap ang b(G) artinya ada a ang G ada  x = b(a)

X = b (a)

X^-1 = b (a)^-1

= b (a^-1)

Ang b (G)

Terbukti b (k) subsed H

            B= k ke H                 b homomofisme

Tunjukkan secara one-step

Ambil sebrang x.y ang b(G)

Adib xy^-1 ang b(G)

X ang b (G) ke ada a ang G, ada b(a)=x

Y ang b(G) ke b ang G , ada b(b)= y

B(b)=y

(b(b)^-1 = y ^-1

X # y^-1 = b (a) # ( b (b))^-1

            = b (a) # (b(b^-1)

            = b (a # b^-1)

            Ang b (G) , a o b^-1 ang G

KERNEL

1.      R dan S masing-masing grup

R x S = ((r,s) l r ang R dan s ang S)

b : R x S ke R yang didefinisikan dengan b (r,s)

a.       Tunjukkan bahwa b suatu homomorfisme

Ambil sembarang (r1, s1) dan (r2, s2) ang R x S

Dengan:

(r1, s1) = (r2, s2)

B(r1, s1)= b (r2, s2)

 r1 = r2

adit homorfisme

mis

# operasi di R x S

b operasi di R

b((r1, s1) # (r2, S2)) = b (r1 o r2) , s1 o s2)

                              = r1 o r2

                              = b (r1, s1) o b (r2, s2)

Jadi b homorfisme

b.      Tentukan kernel b

Ker b         = ((r,s) l b (r,s) = e_R)

                  = ((e_R s ) l e_R ang R dan s ang S) , b (e_R x s) = e_R

                  = ( e_R) x s

2.      Mis G = Z-(0) terhadap operasi x

G^1 = G

0I ; G ke G^1 dengan 0I (x)=x^2         0I baca himpunan kosong

a.       Tunjukan 0l homorfisme

Ambil sebrang x,y ang G = Z-(0)

0l (x) = x^2

0l (y) = y ^2

0l(xy)= (xy)^2

      = x^2 y^2

      =0l(x) 0l(y)

b.      Ker 0l

Ker 0l = (x ang G l  0l (x) = e_G^1)

Diperoleh

      0l(x)= x^2

         1= x^2

       X^2= 1

      X= +- akar 1 = +- 1

Jadi ker 0l = (x ang G l x=1 atau x= -1)

GRUP FAKTOR

1.      G/N himp koset (kiri/kanan) dari N di G maka G/N terhadap operasi

NaNb= Nab

Merupakan suatu yang tersebut grup faktor (kosien) dari G oleh N

G/N                 G

Ne=N              e

Na                    a

Nb                   b

Nab                  ab

Bukti G/N = (Na l a ang G)  berupa koleksi himpunan

i.                    Adit G/N  tertutup, terhadap operasi “o”

Ambil Na, Nb ang G/N

(Na) (Nb)         = N (aN) b

                                    = N(Na)b                     (N subgrup normal G)

                                    = NNab

                                    = Nab                          (NN=N)

G/N tertutup terhadp oerasi “o”

ii.                  Adit G/N  t=asosiatif

Ambil sebarang Na, Nb, Nc ang G/N

((Na)(Nb)) (Nc) = (Na) ((Nb)(Nc)

(Nab) (Nc) = (Na) (Nbc)

NNabc = NNabc

Nabc=Nabc

iii.                Indentitas

Ambil sebarang N x G G/N

Adit; NaNx = Na

NaNx=Nax

Haruslahlah x=e

NaNx   = (Na) (Ne)

                        = N (Na)e

                        = NNae

                        = Nae

Ada(Ne) elemen indentitas

Bukti:

NaNe   = N (Na) e

                        = N(Na) e

                        = Nae

                        =Na

iv.                Invest

Adit ada Na ang G/N , ada Na^-1 ang G/N

NaNa^-1 = Ne= N

Bukti

(Na) (Na^-1)    = N (aN) a^-1

                                    = N(Na) a^-1

                                    = Naa^-1

                                    = Ne

                                    = N

Dari i – iv terbukti Grup

2.      Mis G = (Z,  +)

H= ( 4Z l Z ang Z)

H= (...,-8, -4, 0, 4, 8...)

Koset-koset kanan dari H

H+0=(..., -8, -4, 0, 4, 8,...)= 0+H

H+1=(..., -7, -3, -1, 5, 9,...)=1+H

H+2=(..., -6,-2,2, 6, 10,...)=2+H

H+3=(..., -5, -1, 3, 7, 11)= 3+H

G/H maka Z l 4Z= (H+0, H+1, H+2, H+3)

Himpunan koset kanan dari H di G

-          Apakah 4Z subbgrup Z ? ya,, karena setiap grup abelian merupakan sebgrup normal

-          Apakah Z / 4 Z grup ? ya,

(H+1) + (H+2) = H (1+2)

3.      Jika G suatu grup berhingga, berapakah tingkat (order) dari G/N?

Jawab

G/N          = koleksi semua koset dari N dalam G

                 = koleksi semua koset kanan N dalam G

Elemen dar G/N adalah subsed dari G. Jika G finit, maka order dari G/N adalah banyaknya koset kanan dari N dalam G. Atau disebut indeks dari N dalam G.

Jadi t (G/N)          = banyaknya koset kana dari N dalam G

                             =indeks dari N dalam G

                             = i G(S)

                             = t(G)/t(N) (akibat teorema langrarange)

4.      Diketahui: G = (a, a^2, a^3, ..., a^12=e) adalah grup siklik

                        S = (e, a^3, a^3, a^9) subgrup normal dar G

Dit G/S . . .?

= koleksi semua koset dari S dalam G

= Koleksi semua koset kanan dari S dalam G

Koset-koset kanan dari S dalam G adalah :

Se = (ee, a^3, a^6 e, a^9e) = ( e, a^3, a^6, a^9) = S

Sa= ( ea, a^3a, a^6a, a^9a)=(a, a^4, a^7, a^10)

Sa^2= ( ea^2, a^3a^2, a^6a^2, a^9a^2)=(a2, a^6, a^8, a^11)

Sa^3 = . . . .  .

.

.

.

Sa^12= ( ea^12, a^3a^12, a^6a^12, a^9a^12)=(a^12, a^2, a^15, a^8)= Sa^2

Jadi koset-koset kanannya yang berbeda

1.      Se= Sa^3 = Sa^4= S^9= S (e, a^3, a^6, a^9)

2.      Sa = S^4.....................=(a,a^4, a^7, a^10)

3.      S^2=.....................=(a^2, a^6, a^8,a^11)

Jadi G/S = ( S, Sa, Sa^2)

4.      Diketahui: G (P, P2,P3,P4,P6) grup dari himpunan permutasi terhadap perkalian permutasi dengan:

P1=(123, 123)             P2=(123,231),             P3=(123, 312)             P4=(123, 132)

P5=(123, 321)             P6=(123, 213)

Dit:

a) t(G/S) = ... ?

            t(G) = 6

            t(S)= 3

            t(G/S) = t(G)/t(S)= 6/3 = 2

b)      G/S

 = koleksi semua koset dari S dalam G

= Koleksi semua koset kanan dari S dalam G

Koset-koset kanan dari S dalam G adalah:

SP1= (P1P1), P2,P1,P3P1)=(P1, P2, P3)= S

SP2=(P1P2, P2P2,P3P2)= .....

            P1P2=(123, 123) (123, 231) = (231)=P2

            P2P2=(231) (231) = 231= P3

            P3P2= ( 312)(231)= (123)=P1

Jadi SP2= (P2, P3, P1)= S

SP3      = (P1P3, P2P3, P3P3) = ....

P2P3= (231)(312)=123=P1

P3P3=(312)(312) = P2

Jadi: SP3= (P3, P1, P2)=S

            SP4      = (P1P4, P2P4, P3P4)=....

                        P2P4=(231)(132)=(213)

                        P3P3= (312) (132) = 321=P2

                        Jadi SP4= (P3,P1,P2)

            SP5= (P1P5, P2P5, P3P5)=.....

            P2P5= (231) (321) =132 = P4

            P3P5= (312) (321) = 213 = P6

            Jadi SP5 = (P5, P4, P6) = SP4

           

            SP6= (P1P6, P2P6,P3P6)

            P2P6= (231) (213) = (321) = P5

            P3P6=(312) (213) =(132) = P4

            Jadi SP6 = (P6, P5, P4)=SP4

            Jadi koset-koset kananya yang berbeda adalah

1.      SP1= SP2=SP3 = S= (P1, P2, P3)

2.      SP4= SP5 = SP6= (P4, P5, P6)

Jadi G/S = ((P1,P2,P3), (P4,P5,P6))