Kamis, 17 Januari 2013


Homomorfisma
Contoh:
1.      Mis G gruop bil reil R + terhadap operasi perkalian (R+, x)                           Q dibaca SIE
G^1 grup bil rel R terhadap operasi +
Q ; G ke G^1 didefinisikan dg Q(x) = log x, unt setiap x angg G
Bukti:
Adit: Q (x.y) =(?) Q (x) + Q (y)
Q(x) = log x
Q(y) = log y
Q(xy)= log (xy)
            = log x + log y
Q(xy)= Q9x) + Q(y)
Karena Q(xy) =  Q9x) + Q(y) unt setiapp x,y angg G
Maka Q: G ke G1 adalah homomofisme

2.      Apakah Q ; G ke G^1 berupa Isomofisme?
Jawab:
i.                    Adit Q injektif
Q(x)=Q(y) maka x=y
Q(x)=Q(y)
Log x = log y
X=y (kedua logaritma hasilnya sama berarti bil yang logaritmakan adalah sama)

ii.                  Adit Q surjektif
Ambil sebarang z angg G^1 ,, x =10^y
Maka Q(x) = log x
Q(X) = log 10 ^y
Q(x)= y
Dari pers i dan ii mka Q ; G ke G1 adalah Isomofisme

3.      Mis G himp bil bulat tak nol terhadp opersi x membentuk grup
G^1 = (1,-1) grup terhadap operasi x
Pemetaan  Q : G ke G^1 didefinisikan oleh
Q(x) = 1, x>0 dan -1, x<0
Buktikan Q homofisme
Bukti
Kasus 1) x > 0, y >0
x>0 maka Q(x)=1
y >0 maka Q(y)=1
xy>0maka Q(xy) = 1
            = 1.1
            =Q(x) Q(y)

Kasus 2) x>0, y<0
=-1
Kasus 3) X<0, y>0
=-1
Kasus 4) x<0, y<0
=1

4.      Mis. (Z, +) grup
a.       Jika beta ; Z ke Z didefinisikan dg beta (x)=2x, unt setiap Z , buktikan beta endomomorfisme
b.      Jiak beta ; z ke z didefinisikan dengan beta (x) = x, unt setiap x anggo Z, bukti beta  antomorfisme
Bukti
a.       Ambil serarang x,y angg Z                                                            B= TETA
B (x) = 2x
B (y) = 2y
B(x+y)= 2 (x+y)
= 2x + 2Y
= b(x) + b(y)
Karena b (x+y) = b (x) + B (y) untuk setiap x,y angota Z
Dan b;Z ke Z maka beta endodomorfisme, tpi tidak surjeektif
b.      I) adit : b homomorfisme
ii) beta ijektif dan surjektif
i.                    B(x) = -x, b (y)=-y
B (x+y) = - (x+y)
      = -x-y
      =-x + (-y)
      =b(x) + b (Y)
ii.                   Adit beta ijektif dan surjektif
-          Ambil sebarang x,y angg Z
B (x) = B (Y)
-x=-y
-1.x=-1.y
X=y (konselasi kiri)
Maka b injektif
-          Ambil sebrang  y ang Z
Pilih x ang Z , x = _y
B (X) = -(-y)
B(x)=y
Maka b surjektif
Karena b endomorfisme dan b injektif dan b surjekti maka b antromorfisme

5.      Apakah setiap grup dari grup abeluan adalah grup normal?
Jawab: iya, buktinya
Miasalkan , G adalah grup abelian maka setiap x,y angg G
Berlaku x,y=y=x
n adalah sub grup G maka n subset G sehingga n angg N, maka n angg G. Adan karena G abel mk N juga berlaku setiap m,n angg N. Maka mn=nm
N dikatakan subgrup normal dari G (N subgrup normal G)
Jika a^-1 Na subset N, unt a angg G
Ambil sebrang P angg a^-1 Na dg A ngg G
P = a^-1 na, n ang N
P = a^-1 an, komutaif karena G abel dan N ang N, N suset G maka n ang G
P= en , invers
P=n , sifat indentitas
Maka diperoleh p angg N, karena P angg a^-1 Na dan P ang N
Mak sifat a^-1Na subset N
Sehg terbukti N subgrup Nrmal dari G

6.      G grup siklis, jika ada a ang G ada G =<a>
<a>  = (a^n l a c G) (x, kali)                            c di baca subset
<a>=(n.a l a angg G) (+, tambah)
Adit: <a> grup abel
-          Ambil sebrabg x,y angg <a>
Adit xy=yx
Bukti x ang <a>  maka x = a^m
            Y ang <a> maka y = a^n
            Xy= a^m + a^n= a ^m+n = a^n . a^m = y.x
-          X angg <a> maka x = n.a
Y ang <a> maka y = m.a
X+y= na+ma
= a (m+n)
= ma + na
=y + x

7.      Beta : Z ke Zn, dg b(a)=(a) dari a ang Z, maka b (a+b) =(a+b)= (a) +(b)= b(a)+b(b), unt setiap a,b ang Z. Homomofisme
Adid homofisme
B (a+b) = (a+b) =(a)+(b)=b(a)+b(b) un unt setiap a,b ang Z.
Adib:
B(a+b)= (?) b(a) + b(b)
B(a)= (a)
B(b)=(b)
B(a+b)=(a+b)
B(a+b)= (a)+(b)
            = b(a)+b(b)
Karena B(a+b)= b(a)+b(b) unt setia a,b ang Z maka Z ke Z adalaha homofisme
Adib surjektif
Untuk setiap c ang Zn, ada a ang Z maka b(a)=c
Ambil sebrang c ang Z pilih c ang Z pilih c =(a), maka
B(a)=(a)
B(a)=c


8.      Definisi b; Z ke Z by b(a)=2a untuks etiap a ang Z. Maka b(a+b)= 2(a+b)=2a+2b= b(a)+b(b) untuk setiap a,b ang Z. Homofisme
Adib homofisme
B(a+b)=(?) b(a) +b(b)
B(a)=2a
B(b)=2b
B(a+b)=2(a+b)
            =2a+2b
            = b(a)+b(b)
Karena b (a+b)= b(a)+b(b), untuk setiap a,b ang z, maka b;Z ke Z adalah homomofisme

Homofisme injektif
Ambil sebarang a,b ang Z maka
Adib: b(a) =(?) b(b)
2a=2b
A=b (kensel kiri)
Terbukti b(a)=b(b) maka a=b

9.      Dari r ang R, def Pr:R ke R by Pr(a)=ar untuk setiap a ang R. Maka homofisme , Pr(a+b)=(a+b)r=ar+br=Pr(a)+Pr(b) untuk setiap a,b ang R. Buktikan (a+b)r=ar+br
Jawab:
Homomofisme Pr:R ke R
i.                    Adib injektif
Ambil sebrang a,b ang R maka
Adib Pr(a)=Pr(b)=(?) ar=br
Pr(a)=Pr(b)
Ar=br   terbukti
ii.                  Adib surjektif
Untuk r ang R, untuk c ang R ada cr ang R
Untuk cr ang R, ada a ang R maka Pr(a)=cr
Ambil sebrang cr anng R
Pilih a ang R , a=c
Pr(a)=ar
Pr(a)=cr     terbukti

10.  Apakah semua subgrup S3 adalah subgrup normal?
Jawab tidak.
Himp S3= ( (1), (1,2), (1,3), (2,3), (123), (132) )
Untuk membuktikan subgrup normal haruslah koset kiri=koset kanan
Ambil sebarang , misalkan (1) dan (1.3)
-          Koset kanan
H o (1) = ( (1) , (1,3))
H o (a) = H O (1.2)= Ho (123)
            = ( (1) o (12), (13) o (12)
            = ((12) (123))
H o (a) = H o (23) = H o (132)
            = ((1) o (23), (13) o(23
            = ((23) o (132))

Koset kiri
(1)   o H = ((1) , (13))
(a)    o H = (12) o H
=((12) o (1) , (12) o (13)
= ((23) o (123)
Jadi koset kiri tidak sama dengan kosed kanan

11.  b(a) adalah subgrup dari H
adib b G sugrup H , b(aob) = b(a) #b(b)
two steps subgrup test
a.       b(a) tidak sama dengan Himpunan kosong
jelas, karena G grup dan ada eG ada b (eG) = eH

b.      b(G) cubsed H
b(G)= (b(a) l a ang G)
setiap b(a) ang b(G) maka b(a) ang H
berarti b(a) sused H

c.       ambil sebarang
x,y ang (G)
x ang b(G) artinya ada a ang G ada x = b(a)
y ang b(G) artinya ada b ang G ada y = b(b)
karena himpunannya di H maka operasi yang digunakan #
x # y    = b(a) # b(a)
            = b(a o b)
Ang b(G)

Setiap ang b(G) artinya ada a ang G ada  x = b(a)
X = b (a)
X^-1 = b (a)^-1
= b (a^-1)
Ang b (G)
Terbukti b (k) subsed H
            B= k ke H                 b homomofisme

Tunjukkan secara one-step
Ambil sebrang x.y ang b(G)
Adib xy^-1 ang b(G)
X ang b (G) ke ada a ang G, ada b(a)=x
Y ang b(G) ke b ang G , ada b(b)= y
B(b)=y
(b(b)^-1 = y ^-1
X # y^-1 = b (a) # ( b (b))^-1
            = b (a) # (b(b^-1)
            = b (a # b^-1)
            Ang b (G) , a o b^-1 ang G

















KERNEL
1.      R dan S masing-masing grup
R x S = ((r,s) l r ang R dan s ang S)
b : R x S ke R yang didefinisikan dengan b (r,s)
a.       Tunjukkan bahwa b suatu homomorfisme
Ambil sembarang (r1, s1) dan (r2, s2) ang R x S
Dengan:
(r1, s1) = (r2, s2)
B(r1, s1)= b (r2, s2)
 r1 = r2
adit homorfisme
mis
# operasi di R x S
b operasi di R
b((r1, s1) # (r2, S2)) = b (r1 o r2) , s1 o s2)
                              = r1 o r2
                              = b (r1, s1) o b (r2, s2)
Jadi b homorfisme
b.      Tentukan kernel b
Ker b         = ((r,s) l b (r,s) = eR)
                  = ((eR s ) l eR ang R dan s ang S) , b (eR x s) = eR
                  = ( eR) x s

2.      Mis G = Z-(0) terhadap operasi x
G^1 = G
0I ; G ke G^1 dengan 0I (x)=x^2         0I baca himpunan kosong
a.       Tunjukan 0l homorfisme
Ambil sebrang x,y ang G = Z-(0)
0l (x) = x^2
0l (y) = y ^2
0l(xy)= (xy)^2
      = x^2 y^2
      =0l(x) 0l(y)

b.      Ker 0l
Ker 0l = (x ang G l  0l (x) = eG^1)
Diperoleh
      0l(x)= x^2
         1= x^2
       X^2= 1
      X= +- akar 1 = +- 1
Jadi ker 0l = (x ang G l x=1 atau x= -1)

GRUP FAKTOR
1.      G/N himp koset (kiri/kanan) dari N di G maka G/N terhadap operasi
NaNb= Nab
Merupakan suatu yang tersebut grup faktor (kosien) dari G oleh N
G/N                 G
Ne=N              e
Na                    a
Nb                   b
Nab                  ab

Bukti G/N = (Na l a ang G)  berupa koleksi himpunan
i.                    Adit G/N  tertutup, terhadap operasi “o”
Ambil Na, Nb ang G/N
(Na) (Nb)         = N (aN) b
                                    = N(Na)b                     (N subgrup normal G)
                                    = NNab
                                    = Nab                          (NN=N)
G/N tertutup terhadp oerasi “o”

ii.                  Adit G/N  t=asosiatif
Ambil sebarang Na, Nb, Nc ang G/N
((Na)(Nb)) (Nc) = (Na) ((Nb)(Nc)
(Nab) (Nc) = (Na) (Nbc)
NNabc = NNabc
Nabc=Nabc

iii.                Indentitas
Ambil sebarang N x G G/N
Adit; NaNx = Na
NaNx=Nax
Haruslahlah x=e
NaNx   = (Na) (Ne)
                        = N (Na)e
                        = NNae
                        = Nae
Ada(Ne) elemen indentitas
Bukti:
NaNe   = N (Na) e
                        = N(Na) e
                        = Nae
                        =Na

iv.                Invest
Adit ada Na ang G/N , ada Na^-1 ang G/N
NaNa^-1 = Ne= N
Bukti
(Na) (Na^-1)    = N (aN) a^-1
                                    = N(Na) a^-1
                                    = Naa^-1
                                    = Ne
                                    = N
Dari i – iv terbukti Grup
2.      Mis G = (Z,  +)
H= ( 4Z l Z ang Z)
H= (...,-8, -4, 0, 4, 8...)
Koset-koset kanan dari H
H+0=(..., -8, -4, 0, 4, 8,...)= 0+H
H+1=(..., -7, -3, -1, 5, 9,...)=1+H
H+2=(..., -6,-2,2, 6, 10,...)=2+H
H+3=(..., -5, -1, 3, 7, 11)= 3+H
G/H maka Z l 4Z= (H+0, H+1, H+2, H+3)
Himpunan koset kanan dari H di G

-          Apakah 4Z subbgrup Z ? ya,, karena setiap grup abelian merupakan sebgrup normal
-          Apakah Z / 4 Z grup ? ya,
(H+1) + (H+2) = H (1+2)

3.      Jika G suatu grup berhingga, berapakah tingkat (order) dari G/N?
Jawab
G/N          = koleksi semua koset dari N dalam G
                 = koleksi semua koset kanan N dalam G
Elemen dar G/N adalah subsed dari G. Jika G finit, maka order dari G/N adalah banyaknya koset kanan dari N dalam G. Atau disebut indeks dari N dalam G.
Jadi t (G/N)          = banyaknya koset kana dari N dalam G
                             =indeks dari N dalam G
                             = i G(S)
                             = t(G)/t(N) (akibat teorema langrarange)



4.      Diketahui: G = (a, a^2, a^3, ..., a^12=e) adalah grup siklik
                        S = (e, a^3, a^3, a^9) subgrup normal dar G
Dit G/S . . .?
= koleksi semua koset dari S dalam G
= Koleksi semua koset kanan dari S dalam G
Koset-koset kanan dari S dalam G adalah :
Se = (ee, a^3, a^6 e, a^9e) = ( e, a^3, a^6, a^9) = S
Sa= ( ea, a^3a, a^6a, a^9a)=(a, a^4, a^7, a^10)
Sa^2= ( ea^2, a^3a^2, a^6a^2, a^9a^2)=(a2, a^6, a^8, a^11)
Sa^3 = . . . .  .
.
.
.
Sa^12= ( ea^12, a^3a^12, a^6a^12, a^9a^12)=(a^12, a^2, a^15, a^8)= Sa^2
Jadi koset-koset kanannya yang berbeda
1.      Se= Sa^3 = Sa^4= S^9= S (e, a^3, a^6, a^9)
2.      Sa = S^4.....................=(a,a^4, a^7, a^10)
3.      S^2=.....................=(a^2, a^6, a^8,a^11)
Jadi G/S = ( S, Sa, Sa^2)

4.      Diketahui: G (P, P2,P3,P4,P6) grup dari himpunan permutasi terhadap perkalian permutasi dengan:
P1=(123, 123)             P2=(123,231),             P3=(123, 312)             P4=(123, 132)
P5=(123, 321)             P6=(123, 213)

Dit:
a) t(G/S) = ... ?
            t(G) = 6
            t(S)= 3
            t(G/S) = t(G)/t(S)= 6/3 = 2

b)      G/S
 = koleksi semua koset dari S dalam G
= Koleksi semua koset kanan dari S dalam G
Koset-koset kanan dari S dalam G adalah:
SP1= (P1P1), P2,P1,P3P1)=(P1, P2, P3)= S
SP2=(P1P2, P2P2,P3P2)= .....
            P1P2=(123, 123) (123, 231) = (231)=P2
            P2P2=(231) (231) = 231= P3
            P3P2= ( 312)(231)= (123)=P1
Jadi SP2= (P2, P3, P1)= S

SP3      = (P1P3, P2P3, P3P3) = ....
P2P3= (231)(312)=123=P1
P3P3=(312)(312) = P2
Jadi: SP3= (P3, P1, P2)=S
            SP4      = (P1P4, P2P4, P3P4)=....
                        P2P4=(231)(132)=(213)
                        P3P3= (312) (132) = 321=P2

                        Jadi SP4= (P3,P1,P2)

            SP5= (P1P5, P2P5, P3P5)=.....
            P2P5= (231) (321) =132 = P4
            P3P5= (312) (321) = 213 = P6
            Jadi SP5 = (P5, P4, P6) = SP4
           
            SP6= (P1P6, P2P6,P3P6)
            P2P6= (231) (213) = (321) = P5
            P3P6=(312) (213) =(132) = P4
            Jadi SP6 = (P6, P5, P4)=SP4
            Jadi koset-koset kananya yang berbeda adalah
1.      SP1= SP2=SP3 = S= (P1, P2, P3)
2.      SP4= SP5 = SP6= (P4, P5, P6)
Jadi G/S = ((P1,P2,P3), (P4,P5,P6))
           

Tidak ada komentar:

Posting Komentar