teorema sacheri legendre

1.      Lemma: Jumlah besar sudt dalam setiap segitiga kurang dari 180

Adib: s CAB + CBA  <180

Jawab: s ABC + ABD =180

berdasarkan teorema sudut luar , s ABD > s CAB

jadi,

sABC+ ABD =180

s ABD =180- s ABC

shg 180- s ABC > CAB

s CAB + ABC <180 (terbukti)

2.      Lemma: Diketahui segitiga ABC maka ada A1B1C1 sehingga sudut A1 +B!+C1 = A+B+C dan A1 <= ½ A

Ada segitiga ABC

E adalah titik tengah BC Sehingga BE=EC

Melalui titik A dan E dapat dilukis garis AE, perpanjang AE sehingga terdapat titik F diman AE=EF

Lukis garis CF dan BF

Karena s AEB=CEF maka segitiga ABE = FCE (S.SD.S)

s A+B+C = s 1+ 2 +3 + 4

= s 1 + 21+31+4

= s CAF + AFC + FCA

Selanjutnya : s A = s 1+s2

                      s A = s1+s21

tidak mungkin sudut 21 > ½ CBA dan s1 > ½ s CAB

jadi: sudut 21 >= ½ CBA dan s1 >= ½ s CAB

sehingga segitiga A1B1C1 = ABC dan A1<= ½ A (terbukti)

           

3.      Jumlah besar sudut  dalam segitiga adalah kurang sama dengan 180’

Andaikan diketahui segitiga ABC dan andaikan s A + B+ C > 180, maka ada P>) sehingga s A+B+C=180+P

Dengan  (Lemma: Diketahui segitiga ABC maka ada A1B1C1 sehingga sudut A1 +B!+C1 = A+B+C dan A1 <= ½ A) jadi ada segitiga A1B1C1 sehingga sA1+B1+C1= 180+P dan s A1 <= A

Ada segitiga  A2B2C2 sehingga sA2+B2+C2= 180+P dan s A2 <= A

Jika titik ulangi lagi, maka terdapat satu barisan segitiga –segitga  A1B1C1, A2B2C2, ..., AnBnCn, masing2 dengan jumlah sudut 180+P, sedemikian sehingga untuk sembarang n>0, s An <= 1/2n <A<=P

Jadi s An + Bn + Cn <P+Bn+ Cn <= P Bn + Cn

Sehingga  s Bn + Cn >= 180

Hal ini bertantangan dengan lemma (Lemma: Jumlah besar sudt dalam setiap segitiga kurang dari 180)

Jadi pengandaian bahwa ada segitiga ABC dg s A+ B+C >180 adalah tidak benar. Haruslah s A+B+C<=180 (terbukti)

4.      Corollery: jumlah sudut pada segi emmpat yang convex adalah kurang dari atau sama dengan 380

Bukti: pandang segitiga ABD

Berdasarkan teoorema segi empat sucheri maka

S A+ B+C =<= 180 .....1

Panadang segitia BCD Berdasarkan teoorema segi empat sucheri maka

S B+C +D<= 180 ......2

Akibat pers 1 dan 2 maka S A+B+C+D<=360

5.      Bukti bahwa sudut eksterior suatu segitiga lebih besar atau sama dengan jumlah ukuran dua sudut interiopr didepannya

Bukti;

Diketahuio segitiga PQR dan Sudut PRS adalah sudut eksterior

Adib

S PRS >= QPR + PQR

Bukti: bverdasarkan sudut lurus, maka:

S PRQ + PRS = 180

Sehingga PRQ + PRS = 180

S PRS + PRQ –PRS= 180-PRS

S PRQ = 180 – PRS...2

Berdasarkan teorema sacheri segiemapt maka:

S PQR + QPR + PRQ <= 180...2

Sehingga subtitusikan 1 dan 2

S PQR + QPR + PRQ <= 180

S PQR + QPR <= 180-PRQ

S PQR + QPR <= 180- (180-PRS)

S PQR + QPR <= PRS

JADi terbukti sudut PRS >=  S PQR + QPR

6.      Jika dua garis dipotong oleh garis transpersal , kedua garis terbut diperpanjnag tak terbatas dan akan diperpanjang dan akan berpotongan maka pasangan sudut dalam jumlahnya kurang dari siku-siku

Bukti:

Misalkan diketahui garis m,n danl

Garsi l memotong n dan di tiik q dan m di titik p. Membentuk pasangan sudut dalam sepihak yaitu s P4 dan Q1

Garis m dan n diperpanjang tak terbatas sehingga berpotongan di titik R oleh karena itu membentuk segitgia PQR

Adib s P4 + Q1 < 180

Bukti: berdasrkan lemma (jumlah 2 sudut segitiga adalah 180) maka P4 + Q1 <180

Jadi terbukti P4 + Q1 <180

7.      Diagonal segiempat acheri adalah kongruen

Misalkan

Diketahui segiemapt ABCD

Tarik Ac dan BD shg membnetuk 2 segitigsa ABD dan BCA

Ad= BC (defnisi)

S A = s B

AB = Ab (refleksi)

Maka segitiga ABD = BCA(s.sd.s) akibaynya Ac=BD

Jdi terbukti bahwa diagonal segiempat scheri adalah kongruen

8.      Sudut-sudut segiempat sacheri adsalah kongruen

Misalkan

Diketahui segiemapt ABCD

Tarik Ac dan BD shg membnetuk 2 segitigsa ACD dan BDC

Ad= BC (defnisi)

AC = BD

DC = DC (refleksi)

Maka segitiga ACD = BDC(s.s.s) akibatnya s D= s C

9.      Sudut-sudut puncak segiempat sacheri adalah tidak tumpul dan keduanya lancip atau keduanya siku-siku

Buktiberdasrkan corollary (jumlah segiemapat convex adalah kurang dari atau sam dengan 360)

S A+B+C+D<= 360

90+90+ C+D <= 360       D=C

180+C+C <= 360

2C <= 180

S C = 90

10.  Garis yang menghubungkan titik tengah dari sisi atas dan sisi alas dari segiempat sacheri adalah tegak lurus terhadap sisi atas maupun sisi bawah

Padang segitiga ADM dan BCM

AD=BC (def), s DAM= s CBM (def) AM=BM (def) maka segitiga ADM=BCM (s.sd.s) akibatnya DM=CM dan DMA = CMB..... 1

Padang seegitiga MDN dan MCN

Dn=Cn (dik), MN=Mn (ref), DM=Cm (akibat segitiga ADM = BCM) maka segitiga MDN = MCN akibatnya s DNM= CNM

Sedangakan a DHA + CMB =1 80 maka s DMA = cmb = 90

Sehg MN tegak lurus DC di N.... 2

Segitiga MDN = MCN juga mengakibatkan s DMN = CMN ...3

Selanjutnya s AMN = DMA + DMN (dr 1 dan 2)

Dg demikian s AMN + BMN

Sedangkan s AMN + BMN = 180 maka AMN = BMN = 90

Sehingga terbukti MN tegak lurus AB di M

11.  Sisi atas dan sisi bawah segiempat sacheri adalah sejajar

Berdasarkan teorema (Garis yang menghubungkan titik tengah dari sisi atas dan sisi alas dari segiempat sacheri adalah tegak lurus terhadap sisi atas maupun sisi bawah) sehingga MN tegak lurus AB dan MN tegak lurus CD maka sisi atas dan als sejajar.

12.  Pada bebrapa segiempat sacheri panjang sisi atas lebih panjang atau sam dengann sis bawah.

Misalkan segiempat sacheri ABCD

Adib: AB<= CD

Bukti:

Lukiskan BD

Kemungkinan terbentuk sudut s 1 = 2, 1 <2, 1>2

Jika s 1 = 2 maka segitiga ADB = CBD dan AB= CD

Jika s 1< 2 maka berdasarkan teorema hinge AB<CD

Jika s 1 > 2 ....1

S 2 + 3 = 90

S2 = 90-s3...2

Dar 1 dan 2 maka:

S1 > s 2

S 1> 90-s3

S 1+ s3 > 90

Sehingga :

S 1 + 3 + BAD > 180

Hal ini kontradiksi dengan etorema sacheri segiempat (jumlah sudut dalam segitiga kurang dari atau sama dengan 180)

Haruslah s 1 <= s 2 shgga AB <= CD