Geometri Transformasi

T adalah sebuah transformasi yang ditentukan oleh T(P) = (x-5, y+3) untuk semua titik P(x,y) ANGGOTA V. Selidiki apakah T suatu isometri ?

Penyelesaian

Ambil P  = (x1. Y1) maka T(P)  = P' = (x1- 5, y1+ 3)

            Q = (x2, y2) maka T(Q) = Q' = (x2- 5, y2+ 3)

            PQ= (akar (X2-X1)^2 + (y2-y1)^2)

            PQ= (akar (X2-5)^2 + (y2-y1)^2

P’Q’ = akar((X2-5) - (X1-5))^2 + ((Y2+3)-((y1+3))^2

P’q’ = akar (x2-x1) ^2 + (y2-y1)^2

Karena PQ = P'Q’ maka T adalah suatu isometri.

Contoh 4.2                                               

Andaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi  V      V yang didefinisikan sebagai berikut: (i) Jika x anggota g maka T(x) = x (ii) Jika x Ï g maka T(x) adalah titik tengah ruas garis dari x ke g yang tegak lurus. Selidiki apakah T suatu isometri ?

Penyelesaian                      

Misalkan g adalah sumbu X dan h sebuah garis yang tegak lurus g sebagai sumbu Y.

Ambil P = (x, y) maka T(P) = P' = (x, 1/2y) dan

Ambil Q = (2x, 2y) maka T(Q) = Q' = (2x, y)

PQ = Akar (2x-x)^2 + (2y-y)^2 = akar X^2 + Y^2

P’Q’ = Akar (2x-x)^2 + (2y-1/2y)^2 = akar X^2 + 1/4Y^2

Karena PQ tidak sama dengan P'Q'  maka T tidak isometri.

Contoh 4.4

Diketahui titik-titik A=(1,–1), B=(4,0), C(–4,1), dan D (–2,k). Apabila T suatu isometri sehingga T(A) = C dan T(B) = D, tentukanlah k.

   

Penyelesaian

Karena Isometri mengawetkan jarak, maka |AB| = |CD|, dengan T(A) = C dan T(B) = D.

Akar (XB – XA)^2  + (YB – YA)^2 = akar (XD – XC)^2 + (YD – YC)^2

Akar (4-1)^2 + (0+1)^2 = (-2 + 4)^2 + ( K + 1)^2

Akar 10 = akar 4 + (K^2 – 2k +1)

10 = 4 + (K^2 – 2k +1)

K^2 -2k – 5= 0            *pakek rumus ABC

K = 2+_ akar 24 / 2 = K = 2+_ 2 akar 6 / 2

Teorema 6.1

Setiap transformasi T memiliki invers.

Bukti

Andaikan T suatu transformasi. Kita definisikan padanan L sebagai berikut: Andaikan X anggootata V, V bidang. Oleh karena T suatu transformasi, maka T bijektif. Jadi ada prapeta A angg V sehingga T(A) = X. Kita tentukan kemudian L(X) = A. Artinya L(X) adalah prapeta dari X. Sehingga dari T(A) = X maka T[L(X)] = X. Atau (T o L)(X) = I(X), X anggootata V. Ini berarti T o L = I. Selanjutnya (L o T)(X) = L [T(X)]. Andaikan T(X) = B maka L(B) = X, jadi L [T(X)] = L(B) = X. Jadi pula (L o T)(X) = X = I(X), setiapa x anggotaV. Jadi L o T = I. Sehingga T o L = L o T = I.

Sekarang akan dibuktikan bahwa L adalah suatu transformasi. Dari definisi L jelas L suatu padanan yang surjektif. Andaikan L(X1) = L(X2) dan  andaikan T(A1) = X1, T(A1) = X1dengan L(X1) = A1dan L(X2) = A2. Oleh karena T suatu transformasi maka karena A1 = A2kita peroleh X1= X2. Jadi dari L(X1) = L(X2) maka X1= X2. Sehingga L injektif. Dengan demikian terbukti bahwa L bijektif. Jadi L suatu transformasi. Transformasi L ini disebut invers dari transformasi T dan dilambangkan dengan L = T^-1. Jadi L = T^-1

 Contoh 6.2

Pada suatu sistem sumbu ortogonal XOY didefinisikan transfor- masi F dan G sebagai berikut : setiap P(x,y), F(x,y) = (x+2, 1/2y) dan G(x,y) = (x-2, 2y). Sehingga (F o G)(P) = F [G(P)] = F [(x-2, 2y)] = (x,y) = P. Dan (G o F)(P) = G [F(P)] = G [(x+2, 1/2y)] = (x,y) = P Jadi (F o G)(P) = (G o F)(P) = P = IP, setiap P. Atau F o G = G o F = I. Jadi F dan G balikan satu sama lain. Kita tulis G = F^-1             

Apabila g sebuah garis, Vg adalah padanan yang didefinisikan untuk semua titik P sebagai berikut : (i) Apabila P anggota g maka Vg(P) = P. (ii) Apabila P bukan anggota g maka Vg(P) = P’ sehingga P titik tengah ruas garis tegak lurus dari P’ pada g. Jika g = {(x,y)| y = -2} dan D(-3,4), tentukanlah Vg(D) dan Vg ^-1(D).

Penyelesaian

A (2,-4) maka Vg (A) = (2, 2(-4) +2)= (2,-6)

B(3,2) maka Vg (B) =(3, 2(2) +2) = (3,6)

C(Xo, Yo) maka (Xo, 2(yo) + 2

D( _3,4) maka Vg (D) = (-3,2(4) +2)=( -3,10)

Jika P = (x,y) maka akan ditentukan Vg^-1(P)

Mislkan Vg^-1 (x,Y) = (xo , yo)

Vg [Vg^-1 (x,Y)] = Vg (xo, yo)

(Vg o Vg^-1) (x,Y) = Vg (xo, yo)

X,y = (xo, 2yo +2) sehingga x = x = xo dan y = 2yo +2

Xo =x dan yo = Y-2 / 2

Jadi Vg^-1) (x,Y)= x ,Y-2 / 2 shgga Vg^-1) (-3 , 4) = (-3 , 1)

Cek  Vg (-3, 4) = (-3, 10) apakah Vg^-1) (-3 , 4) = (-3 , 4)

Vg^-1) (-3 , 4) = (-3, 10-2/2) = (-3,4)

Contoh 6.3

Pada sebuah sistem sumbu ortogonal ada garis g = {(x,y)I y = x} dan h = {(x,y)Iy = 0}. Tentukan P sehingga (Mh o Mg)(P) = R dengan R = (2,7).

Penyelesaian

Andaikan P = (x,y). Kita peroleh berturut-turut

(Mg^-1 o Mh^-1) Mh o Mg)(P) = (Mg^-1 o Mh^-1) (R).

Jadi P = Mg^-1 o [ Mh^-1(R)]  

Oleh karena R = (2,7) dan Mh^-1 = Mh maka Mh^-1 (R) = Mh(R) = (2,-7) sehingga (Mg^-1 o Mh^-1) (R). =Mg^-1(2,-7) = (-7,2) sehingga P = (-7,2).

Contoh 6.4

Diketahui dua garis g dan h yang berpotongan. Lukislah:

a)   garis k sehingga Mg [Mh(k)] = g.

b)   garis m sehingga Mh [Mg(m)] = g.

Penyelesaian

a)  (Mg o Mh)(k) = g

     (MG o Mh)^1o (Mg o Mh)(k) = (MG oMH) ^-1 (g)

     I(k) = (Mg^-1 o Mh^-1) (g)

     k =  (Mh o Mg)(g)

     k =  Mh [Mg(g)]

     k =  Mh(g)

b)  (Mh o Mg)(m) = g

     (Mh o Mg) ^-1 o (Mh o Mg)(m) = (Mh o Mg) ^-1 (g)

      m = (Mg^-1 o Mh^-1) (g)

      m = (Mg o Mh)(g)

      m = Mg [Mh(g)]

      m = Mg(k)

Contoh 7.1

Tentukan persamaan peta lingkaran x^2 + y^2 = 9 oleh refleksi berurutan terhadap garis y = 2x - 1 dan y = -1/2x + 4.

Penyelesaian

Hasil kali gradien kedua garis tersebut adalah -1,  oleh  karena itu kedua garis tersebut  saling  tegak  lurus. Berdasarkan  teorema  komposisi dua refleksi tersebut adalah setengah putaran yang berpusat  di  titik  potong  kedua sumbu refleksi. Titik potong kedua garis  tersebut diperoleh (2,3). Misalkan P'(x',y')  adalah  peta  titik  P(x,y) oleh setengah putaran  yang  berpusat di (2,3).

Maka x' = 2.2 - x = 4 - x atau x = 4 - x' .......................................... (1)

dan    y' = 2.3 - y = 6 - y atau y = 6 - y' .......................................... (2)

Jika (1) dan (2) disubstitusikan ke persamaan kurva semula maka diperoleh: (4-x’)^2+ (6-x’)^2= 9Jadi atau (x’-4)^2+ (x’-6)^2= 9Jadi persamaan petanya adalah (x’-4)^2+ (x’-6)^2= 9

Contoh 7.2

Apabila A=(–1,0), tentukan persamaan garis-garis g dan h sehingga B(3,4) Î g dan SA= Mg o Mh.

Penyelesaian

Berdasarkan teorema SA= Mg o Mh apabila g tegak lurus h di A.

Jadi, garis g adalah sebuah garis yang melalui titik A(–1,0) dan titik B(3,4) yaitu: y/4  = (x+1)/(3+1)  Û  y/4  = x+1/4  jika maka  y = x + 1.

Sedangkan garis h adalah sebuah garis yang melalui titik A(–1,0) dan tegak lurus pada garis g yaitu: y – 0 = –1(x + 1)  jika maka y = –x – 1.

Contoh 7.3

Diketahui dua garis g dan h yang tidak sejajar; A sebuah titik yang tidak terletak pada g atau h. Tentukan semua titik X pada g dan semua titik Y pada h sehingga A titik tengah XY

Penyelesaian

Ambil sebuah titik Panggota g. Kita lukis P’ = SA(P). Maka g’ = SA(g) akan melalui P’ dan PA = AP’. g’ // g. Jika g’ memotong h di Y kita tarik YA yang memotong g di X. maka X dan Y adalah pasangan titik yang dicari dan tampak ini satu-satunya pasangan.

Contoh 7.4

Buktikan bahwa transformasi T(x,y) = (2x + y, x - 2y) merupakan suatu kolineasi.

Penyelesaian

Misal g : ax + by = 0. Ambil (xo,yo)g maka dipenuhi g': axo+ byo= 0. Karena diketahui T(x,y)=(2x+y, x-2y) makaT(xo,yo)=(2xo+yo,xo–2yo).

Misalkan  T(xo,yo) = (x,y) maka (x,y) = (2xo + yo, xo – 2yo). 

Sehingga diperoleh x = 2xo + yo dan y = xo – 2yo    

Dari x = 2xo + yo dan y = xo – 2yo diperoleh:   

           Xo=  2x + y/ 5                            yo=     x – 2y/5          

Sehingga g': axo+ byo= 0.

    G’ :a = 2x + y /5   + b=     x – 2y              / 5

                                                                                       

g’   :a(2x + y) + b(x - 2y)  / 5 =  0

  g' : 1/5 (2ax + bx + ay - 2by) = 0

  g' : 1/5 {(2a + b)x + (a - 2b)y} = 0 adalah garis lurus.

Karena g' merupakan sebuah persamaan garis lurus maka terbukti bahwa transformasi T(x,y) = (2x + y, x - 2y) merupakan suatu kolineasi.

Contoh 7.4

Diketahui A=(–1,4), g = {(x,y) | y = 2x – 1} dan h = {(x,y) | x = –1}.

a. Tentukan g’ = SA(g).

b. Selidiki apakah titik (–5,6) terletak pada g’ = SA (g) ? Jelaskan !

Penyelesaian

a.   Misal (xo, yo) anggota g maka dipenuhi yo = 2xo– 1.

       SA( xo, yo )= (–2 – xo, 8 – yo) jika maka (x, y) = (–2 – xo, 8 – yo)

        Jadi, x = –2 – xo dan y = 8 – yo jika mak  xo = –2 – x   dan yo =  8 – y

  Tempat kedudukan (x,y) adalah yo = 2xo– 1

                                8 – y = 2 (–2 – x) – 1

                                      8 – y = –  4 – 2x – 1

                                    8 – y + 4 + 2x + 1 = 0

                                    2x –  y + 13 = 0

             Jadi persamaan g’ = SA(g) adalah {(x,y)| 2x –  y + 13 = 0}

b. Akan diselidiki apakah titik (–5,6) terletak pada g’ = SA(g) ?

     Substitusikan titik (–5,6) pada SA(g)  maka    2x –  y + 13 = 0

                                            2(–5) – 6 + 13 = 0

                                            –16 + 13 = 0

                                            –3 = 0

          Jadi, titik (–5,6) tidak terletak pada g’ = SA(g). ¨

Contoh 7.5

Diketahui himpunan E = {(x,y)| x^2    + 4y^2   = 16}.  Andaikan  A = (4,-3) dan  C = (3,1).  Jika  g  adalah  sumbu  X,  selidiki apakah A anggota (Mg o SC)(E) ?

Penyelesaian

Kita tahu bahwa (Mg o SC) ^  = SC ^-1  o Mg ^-1  = SC o Mg. Apabila P = (x,y) maka Mg(P) = (x,-y). Sedangkan SC(P) = (6 - x, 2 - y).

Jadi (Mg o SC)^-1  (P) = (SC o Mg)(P) = SC(x,-y) = (6 - x, 2 + y). Sehingga (Mg o SC)(A)  =  (2,-1).  Oleh  karena titik B = (2,-1) bukan anggota E maka (Mg o SC)^-1   (A)bukan anggota E. Ini  berarti bahwa A  bukan anggota (Mg o SC)(E). 

Dengan  cara  yang  serupa,  kita dapat menentukan persamaan peta suatu himpunan,  apabila persamaan himpunan itu telah diketahui. Dalam contoh di atas,  kita  tahu  menurut  teorema  7.9

bahwa: Panggota (Mg o SC)(E) jika dan hanya jika (Mg o SC) ^-1  (P) anggota E

Kalau P = (x,y) maka (Mg o SC)(P) = (6 - x, 2 + y). Jadi (Mg o SC)^-1  (P) anggota E, jika dan hanya jika : (6 - x, 2 + y) anggota{(x,y)| x ^2   + 4y^2   = 16}. 

Jadi haruslah (6 - x)^2  + 4(2 + y) ^2  = 16. Ini berarti : P(x,y) anggota (Mg o SC) (E) jika dan hanya jika P(x,y)anggota {(x,y)| x^2   + 4y^2   - 12x  + 16y  + 36 = 0}

Ini berarti x^2   + 4y^2   - 12x  + 16y  + 36 = 0} adalah  persamaan peta E oleh transformasi (Mg o SC).

Contoh 7.6   

Diketahui titik C = (2,-1), garis g = {(x,y)| y = x}  dan h = {(x,y)| y = 3x - 2}. Tentukan persamaan garis k = (SC o Mg)(h).

Penyelesaian

Ambil (xo,yo)h maka dipenuhi yo = 3xo- 2 . . . . . (1)  

(SC o Mg)(xo,yo) = SC [Mg (xo,yo)] = SC (yo,xo) = (4 - yo, -2 - xo).

Misalkan (SC o Mg)(xo,yo) =  (x,y), maka (x,y) = (4 - yo, -2 - xo).

Sehingga diperoleh x = 4-yo dan y = -2-xo atau yo = 4-x dan xo= -y-2.

Dengan mensubstitusikan xo dan yo ke persamaan (1) diperoleh k = {(x,y)| 4-x = 3(-y-2) - 2} atau k = {(x,y)| 3y-x+12 = 0}

Contoh 1

Diketahui garis g = {(x,y)| y = x} dan garis h = {(x,y)| y= 0}. Tentukan P sehingga (Mh o Mg)(P) = R dengan R = (2,7).

Jawab:

Andaikan P = (x,y), diperoleh :

                             (Mh o Mg)(P) = (R).

  (Mh o Mg)^-1 o (Mh o Mg)(P) = () (R)

(Mh^-1 o Mg ^-1)(o (Mh o Mg)(P) = o (Mh ^-1o Mg^-1)(R)

                                              I(P) = (Mg o Mh)^-1 2,7)]

                                                   P = Mh [ Mg (2,7)]          

                                                   P = Mg(2,-7)

                                                   P = (-7,2)

Contoh 2

Diketahui dua garis g dan h yang berpotongan. Lukislah:

c)  garis k sehingga Mg [Mh(k)] = g.

d)  garis m sehingga Mh [Mg(m)] = g.

     JAWABAN

c)                                   (Mg o Mh)(k) = g

(Mg o Mh)^-1 o (Mg o Mh)(k) = (Mg o Mh)^-1  (g)

                                                                I(k) = (Mh ^-1o Mg^-1) g)

                                                           k =  (Mh o Mg)(g)

                                                           k =  Mh [Mg(g)]

                                                            k =  Mh(g)

d)                                    (Mh o Mg)(m) = g

                  (Mh o Mg)^-1 o (Mh o Mg)(m) = (Mh o Mg)^-1 (g)

                                                                       m = (Mh ^-1o Mg^-1) g)

                                                             m = (Mg o Mh)(g)

                                                             m = Mg [Mh(g)]

                                                             m = Mg(k)

  Apabila g sebuah garis,  T adalah padanan yang didefinisikan untuk setiap titik P sebagai berikut: (i) Jika P anggota g maka T (P) = P.  (ii) Jika P bukan anggota g maka T(P) titik tengah ruas garis yang tegak lurus dari P pada g

a.   Buktikan bahwa T suatu transformasi.

b.   Jika g = {(x,y) | y = x} dan A = (6,2), tentukanlah T(A) danT ^-1(A).

c.   Jika h = {(x,y) | y = 2x – 1}, tentukan h’ = T(h) (sebagai latihan)

JAWABAN

a.    Akan dibuktikan T suatu transformasi.

(i)   Harus dibuktikan T Surjektif.

            Ambil sebarang titik A’ anggota V. Jika A’ anggota  g maka A’ = T(A) = A.  Jika A’ bukan anggota g maka melalui A’ dapat dibuat A’Q yang tegak lurus g (Q anggota  g. Karena V bidang Euclides, maka pada A’Q dapat ditentukan sebuah titik A sedemikian sehingga |A’Q | = |AA’| atau A’ tengah-tengah AQ). Berdasarkan definisi maka A’ = T(A). Karena A’ sebarang titik di V maka dapat disimpulkan bahwa setiap titik di V punya prapeta. Dengan demikian terbukti bahwa T surjektif.

(ii) Harus dibuktikan T Injektif.

Ambil sebarang dua titik di V, misalkan P dan Q (P tidak = Q, P bukna angota g, Qbukan anggota g). Akan dibuktikan : P tidak sama dengan Q             P’ tidak sama dengan Q’.

Andaikan P’ = Q’. Karena P’anggota PP’ dan Q’anggota  QQ’ maka  PP’ = QQ’. Karena P’ adalah  titik tengah ruas garis yang tegak lurus dari P pada g, Q’ adalah  titik tengah ruas garis yang tegak lurus dari Q pada g, maka P = Q (kontradiksi). Maka pengandaian P’ = Q’ tidak benar, sehingga terbukti P tidak sama dengan Q        P’ tidak sama dengan Q’. Dengan demikian terbukti bahwa T injektif.

Karena T surjektif dan T injektif maka T bijektif sehingga T merupakan suatu transformasi. Terbukti !