RING bukti

7.   Diketahui K = {(a,b) I a,b angota Z dan b tidak = 0}

      Didefinisikan operasi pada K , seperti berikut :

      Untuk setiap (a,b) , (c,d) angota K, (a, b) = (c, d) jika dan hanya jika a = c dan b = d

      ( a, b) +(c, d) = (ad + bc , bd )

      ( a, b) *( c, d) = ( ac , bd )

      Selidilah apakah ( K , +,*) merupakang ring.

Jawab:

Jawab:

Diketahui K = {(a,b) I a,b anggota Z dan b tdk = 0}

      Didefinisikan operasi pada K , seperti berikut :

      Untuk setiap (a,b) , (c,d) anggota K, (a, b) = (c, d) jika dan hanya jika a = c dan b = d

      ( a, b) + (c, d) = (ad + bc , bd )

      ( a, b) * ( c, d) = ( ac , bd )

Sebuah sistem aljabar ( K ,+ , *) adalah sebuah ring jika dipenuhi:

      1.   ( K , +) merupakan grup abelian

            a.  Adib ( K ,+) grup

(i) ( K , +) tertutup terhadap K

(a,b), (b,c) angoota K ada (a,b) +(c,d) = (ad + bc, bd)

ad + bc angota  Z     (sifat bilangan bulat)

bd angota Z    (sifat bilangan bulat)

maka (ad + bc, bd) anggota Z

(ii) Assosiatif

Setiap (a,b), (c,d)  dan (e,f) angta  K

((a,b) +(c,d)) + (e,f) = (ad + bc, bd ) +(e,f)

= ((ad +bc)f +bde, bdf)

= (adf + bcf + bde, bdf)

(a,b) +((c,d) +(e,f)) = (a,b) + (cf + de , df)

= (adf +b(cf+ de), bdf

= adf +bcf +bde , bdf

Karena ((a,b) +(c,d)) +(e,f) = (a,b) +((c,d) +(e,f)), maka sifat assosiatif dipenuhi

(iii) Elemen identitas

Ada  e angota K, setiap (a,b) angota K ada  (a,b) +e = e + (a,b) = (a,b)

Mis : e = (x,y) maka

 (a,b) +(x,y) =    (a,b)

 ( ay +bx , by) = (a,b)

ay + bx = a……1)

by = b…………2)

Dari persamaan 2)

by = b

y = 1

Dari persamaan 1)

ay + bx = a

a + bx = a

bx = 0

x = 0

Maka elemen identitas (x,y) = (0,1)

\

(iv)  Invers

ada (a,b)^{^} -1 angota K ada  (a,b) +  (a,b)^{^-1} = (a,b)^{^-1} (a,b) = e

Misal (a,b)^-1 = (p,q)

(a,b) +(a,b)^-1 = (0,1)

(a,b)^-1 = (p,q)

(a,b) +(p,q) = (0,1)

(aq + bp, bq) = (0,1)

aq + bp = 0

 bq = 1

                    q = 1/b

                    dari persamaan diatas akan ditentukan nilai p,maka

a . 1/b + bp = 0

a/b+ bp = 0

 bp = - a/b

p = -a/b^2

                    Jadi (a,b)^-1 = (-a/b^2,  1/b) dengan a,b   Z

                                               

(v) Abelian

(a,b) +(c,d) = (ad+bc, bd)

 = (bc+ad, db) …………….. sifat komutatif pada penjumlahan

= (cb + da, db)…………….  Sifat komutatif pada perkalian

            (a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b)

            Karena (a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b) maka sifat abelian terpenuhi

           

2.   Himpunan K tertutup dan assosiatif terhadap *

      a.   Tertutup

(a,b), (c,d) K  (a,b)  (c,d) = (ac, bd)

      ac Z dan bd Z

            Jadi tertutup dipenuhi

      b.   Assosiatif

setiap (a,b), (c,d) dan (e,f) K  ((a,b) (c,d)) (e,f) = (a,b) ((c,d) (e,f))

                 ((a,b) (c,d)) (e,f) = (ac,bd) (e,f)

                                                       = (ace , bdf)

                 (a,b) ((c,d) (e,f)) = (a,b) (ce, df)

                                                       = (ace , bdf)

                 Karena ((a,b) (c,d)) (e,f) = (a,b) ((c,d) (e,f)) = (ace, bdf) maka sifat assosiatif terpenuhi

                

3.   Hukum distributif kiri dan kanan

vi) Distributif kiri

            X*  (y + z) = xy + xz

            (a,b) *((c,d) +(e,f)) = (a,b) *(cf + de, df)

                                                  = (acf + ade, bdf)

Ambil, bZ shg,          

(a,b) *((c,d) +(e,f)  = (bacf + bade, bbdf)

                                                  = (acbf + bdae, bdbf)……………..(sifat komutatif perkalian)

                                                 = (ac, bd) (ae, bf)

            (a,b) *((c,d) + (e,f)) = ((a,b) * (c,d)) + ((a,b) *(e,f))

(vii) Distributif kanan

             (x+y) * z = xz+yz

            ((a,b) + (c,d)) *(e,f)    = (ad + bc, bd) * (ef)

    =  (e(ad + bc), bdf)

                                                    = (ade + bce, bde)

Ambil , fangota Z shg, 

((a,b) + (c,d)) *(e,f)     = (aedf + bfce, bfdf)

                                                    = (ae, bf) (ce, df)

            ((a,b) + (c,d)) * (e,f)        = ((a,b) * (e,f)) + ((c,d) *(e,f))

           

SUB RIng

Definisi :

Suatu himpunan R yang tidak kosong merupakan subring dari ring ( R ; + ; x ) bhb terhadap operasi yang sama dengan R,  suatu ring dan R C R atau ( R ; + ; x ) suatu subring dari ( R ; + ; x ) berhubungan R C R dan  memenuhi 2 sifat :

1.      R’ tidak = 0

2.      (setiap a,b anggota R) (a-b) anggta R

3.      (setiap a,b anggota R) (a-b) anggta R

·         Syarat (1) menyatakan bahwa (;+) adalah merupakan suatu Grup Komutatif.

·         Syarat (2) menyatakan bahwa ( ) adalah merupakan suatu Semigrup. Sehingga dapat kita katakan bahwa syarat-syarat tersebut telah memenuhi syarat dari suatu Ring. Dikarenakan   adalah himpunan bagian dari R C R, maka   dapat dikatakan sebagai Subring dari R.

Contoh :

1.      Misalkan P= {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring, tunjukan bahwa Q = {0, 2} adalah Subring dari P.

Penyelesaian :

Akan ditunjukan bahwa Q = {0, 2} memenuhi syarat-syarat dari suatu Ring.

(i). Q tidak = 0 karena Q = {0, 2}

1.      (ii).  (setiap a,b anggota R) (a-b) anggta P

 Misal : 0 , 2 C P => 0 – 2 = 2 => 2 C P

            (iii).(setiap a,b anggota R) (a x b) anggta R

  Misal : 0 , 2 C P => 0 x 2 = 0 => 0 C P

Syarat (i) , (ii) , (iii) terpenuhi maka Q adalah subring dari P

2.      Diketahui himpunan bilangan Prima ( P ; + ; x ) dan ring dari himpunan bilangan cacah ( C ; + ; x ). Selidiki apakah ( P ; + ; x ) Subring dari (C ; + ; x ).

Penyelesaian :

Akan dibuktikan bahwa P subring dari ( C ; + ; x ).

(i).  P tidak = 0karena P = { 2, 5, 7, 11, 13,.....}

1.      (ii). (setiap a,b anggota R) (a-b) anggta P

 Misal : 5 , 7 C P  => 7-5 = 2 => 2 C C

4.      (iii). (setiap a,b anggota R) (a x b) anggta P

  Misal : 7 x 5 = 35=> 35 C C

Karena Syarat (i) , (ii) , (iii) terpenuhi maka  ( P ; + ; x ) adalah subring dari  ( C ; + ; x ).

3.      Diketahui Matrik (x 0, y z) I setip x,y,z anggta B. terhadap operasi penjumlahan dari penggandaan matriks. Apakah subring dari ring matriks M ordo 2 ?

Penyelesaian

Akan dibuktikan Matrik (x 0, y z) I setip x,y,z anggta Bsuatu subring dari ( M ; + ; x )

M’ C M  atau Matrik (x 0, y z) C Matrik (x 0, y z)

(i). M’ tidak = 0 karena Matrik (x 0, y z) I setip x,y,z anggta B

(ii). Ambil Matrik (x1 01, y1 z1) anggota M’  Matrik (x2 02, y2 z2)

      Dengan x1, y1, z1, x2, y2, z2

Matrik (x1 01, y1 z1) -  Matrik (x2 02, y2 z2) = Matrik (x1-x2 0, y1-y2 z1-z2)

Sehingga (x1-x2 0, y1-y2 z1-z2)

Karena semua merupakan anggota B maka anggota M’

 (iii). Matrik (x1 01, y1 z1) -  Matrik (x2 02, y2 z2)

= Matrik (x1.x2   0, y1x2+y2z1          z1z2)

sehingga

= Matrik (x1.x2   0, y1x2+y2z1          z1z2) anggota M’