B.

1. Jika adan b sejajar

sudut sehadap sama besar:

5 = 1; 6 = 2; 7 = 3; 8 = 4; (sudut)

sudut berseberangan luar sama besar:

7 = 1; 8 = 2 (sudut)

sudut berseberangan dalam sama besar: 5 = 3; 6 = 4 (sudut)

 Akibat: 1 = 3 = 5 = 7 dan 2 = 4 = 6 = 8 (sudut)

2.      2. Jika garis a dan b dipotong oleh garis c dan sudut sehadapnya sama besar, maka

a  sejajar b. sejajar

 Jika garis a dan b dipotong oleh garis c dan sudut berseberangan luarnya sama

besar, maka a sejajar b.

 Jika garis a dan b dipotong oleh garis c dan sudut berseberangan dalamnya sama

besar maka a sejajar b

3.      3. Berdasar sifat kesejajaran tersebut beberapa sifat diturunkan:

a. Jumlah besar sudut sebuah segitiga 180o.

b. Besar sebuah sudut luar sebuah segitiga sama

dengan jumlah besar dua sudut lainnya.

Besar B2 = A + C (sudut)

c. Dari butir a dapat diturunkan antara lain:

1) Jumlah besar sudut sebuah segi-n = (n – 2) x  180o.

2) Besar sebuah sudut segi-n (poligon) beraturan = x °

Segi-n beraturan adalah segibanyak (poligon) yang semua sisinya sama

panjang dan semua sudutnya sama besar,

4.      4. Jika sebuah garis g sejajar sisi AB pada segitoga ABC dan

memotong AC di titik D dan BC di E, maka:

1) (sudut)CDE kongruen (sudut)CAB dan (sudut)CED =(sudut)CBA

(sudut)CDE = (sudut)CAB dibaca sudut CDE kongruen dengan sudut CAB. Dua sudut

kongruen jika keduanya sama besar).

ΔCDE ~ ΔCAB ; Akibat lebih lanjut: (segitiga)

a) CD : CA = CE : CB = DE : AB

b) CD : DA = CE : CB

c) Luas ΔCDE : Luas ΔCAB = (CD)2 : (CA)2 = (CE)2 : (CB)2 = (DE)2 : (AB)2

Jika titik D dan E pada gambar di atas masing-masing titik tengah AC dan

BC , maka DE disebut (salah satu) paralel tengah pada segitiga tersebut.

DE = 1/2 AB dan DE sejajar AB

4) Jika pada segitiga ABC tersebut titik D pada AC dan E

pada BC sedemikian sehingga besar (sudut)CDE =(sudut)B dan (sudut)CED = (sudut)A, maka DE disebut ruas

garis anti paralel terhadap AB .

Syarat suatu sistem Aksioma:

1.  Konsisten;  tidak boleh ada dua pernyataan yang saling  bertentangan  (juga istilah dan simbol harus non kontradiktif)

2. Independen; suatu peryataan tidak dapat diturunkan dari pernyataan lain.
3. Lengkap; pernyataan yang diturunkan dari sistem itu dapat dibuktikan benar atau salah
4. Ekonomis; simbol/istilah yg digunakan tdk  berlebihan

Aksioma euclid

1.        Melalui dua titik dapat dilukis sebuah garis lurus.

2. Sebuah ruas garis dapat diperpanjang tak terbatas.
3. Bila diketahui sebuah titik dan sebuah jarak dapat dilukis sebuah lingkaran.
4. Semua sudut siku-siku besarnya sama
5. Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian sehingga membentuk sepasang sudut dalam sepihak jumlahnya kurang dari dua sudut siku, maka apabila kedua garis tersebut diperpanjang tak terbatas akan berpotongan di pihak dimana jumlah kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku.

4. PKE

PKE: Melaui satu titik diluar suatu garis hanya ada suatu garis yg sejajar dg garis yang diketahui.   

6.      Misalkan diketahui garis m, n dan l. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam sepihak sudut P1 dan sudut Q2 dimana sudut P1 + sudt Q2 kurang 180. Apabila m dan n   diperpanjang tak terbatas maka m berpotongan dengan n.

7.      6. Teorema Sudut Dalam Berseberangan
Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian sehinggga membentuk pasangan sudut dalam  berseberangan  yang  kongruen, maka kedua garis tersebut sejajar

Misalkan diketahui garis m, n dan l. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam berseberangan sudut P1 dan sudut Q2. Akan dibuktikan bahwa m sejajar n

    Andaikan  m sejasjsar n , berarti m berpotongan dengan n. Berdasarkan teorema dalam geometri insiden maka m dan n berpotongan di satu titik misalkan titik R. Perhatikan ΔPQR, ÐQ2 adalah sudut luarnya. Berdasarkan teorema sudut luar, maka  sudut Q2 > msudut P1 (kontradiksi dengan hipotesis). Oleh karena itu m sudut n. Terbukti.

8.      8. Teorema: (Konvers TSDB)
Jika dua garis sejajar dipotong  oleh  garis  trans- versal, maka sudut dlm berseberangan kongruen.

Illustrasi:

   Misalkan diketahui garis m, n dan l dengan m sejajar n. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam berseberangan sudut P1 dan sudut Q2. Akan dibuktikan bahwa ÐP1 = ÐQ2.

BUKTI:

    Andaikan  sudut P1 =   sudut Q2, berarti sudut P1 lebih besar sudut Q2 atau sudut P1 kecil sudut Q2. TMBK, misalkan sudut P1 kecil sudut Q2. Berdasarkan postulat mengkonstruksi sudut maka terdapat titik R pada daerah sudut P1 sehingga sudut QPR = sudut Q2 (misalkan garis yang melalui titik P dan R adalah k). Berdasarkan teorema sudut dlm berseberangan, maka garis k sejajar n. Karena k tidak sma dg m, maka melalui titik P di luar garis n terdapat dua garis yang sejajar dengan n (kontradiksi dengan PKE). Haruslah sudut P1 = sudut Q2. Terbukti.

 

 

  BUKTI: P maka Q

Diketahui: Konvers dari Teorema Sudut Dalam Berseberangan.

Akan dibuktikan: Postulat Kesejajaran Euclides.

Misalkan diketahui garis m, n dan l dengan m // n. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk sudut dalam  P =  Q2. Akan dibuktikan: melalui titik P diluar garis n hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis n.

BUKTI:

Misalkan melalui titik P diluar garis n ada garis lain yaitu garis k (k ¹ m), maka harus ditunjukkan bahwa garis k memotong garis n.

Andaikan garis k tidak memotong garis n, berarti k // n. Apabila k // n, maka berdasarkan konvers teorema sudut dalam berseberangan  QPR =  Q . Padahal diketahui  Q =  P . Berdasarkan sifat transitivitas pada kekongruenan sudut disimpulkan  P  =  QPR. Karena garis k dan m melalui titik P maka k = m (kontradiksi). Haruslah garis k memotong garis m. Dengan demikian terbukti bahwa melalui titik P diluar garis n hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis n. Terbukti.

9.      Jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam sepihak saling bersuplemen, maka kedua garis tersebut sejajar. Buktikan !

Misalkan diketahui garis m, n dan l. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sehingga membentuk pasangan sudut dalam sepihak sudut P1 dan sudut Q@ dan sudut P1+ sudut Q2 = 180.

Akan dibuktikan : m sejjar n.

BUKTI:

Diketahui sudut sudut P1+ sudut Q2 = 180. Disisi lain sudut Q3 + sudut Q2= 180. Sehingga diperoleh  P1=Q3, dimana P1 dan  Q3 adalah pasangan sudut dalam berseberangan. Maka berdasarkan Teorema sudut dalam berseberangan disimpulkan m // n. Terbukti.

10.  Diketahui segitiga ABC dan segitiga PQR dengan s CAB =RPQ, AB = PQ dan s CBA = RQP. Buktikan segitiga ABC = segitiga PQR. 

Bukti

Berdasarkan Aksioma (S-Sd-S), segitiga ABC = segitiga PQR apabila AC=PR Andaikan AC tidak = PR, maka AC<PR  atau AC>PR,  TMKB, misalkan AC>PR maka terdapat titik D anggota AC sehingga AC=PR. Akibatnya, segitiga ABD= segitiga PQR (S-Sd-S) sehingga ABD = PQR. Karena diketahui sudut ABC = PQR, maka berdasarkan sifat transitivitas pada kekongruenan sudut disimpulkan ABD = ABC. (kontradiksi). Haruslah AC=PR sehinga terbukti segitiga ABC = segitiga PQR.

11.  Diketahui sagitiga PQR. Buktikan bahwa PQ + QR besar PR

BUKTI:

Lukis titik D pada sinar PQ sehingga P-Q-S dan QS=QR Akibatnya segitga QRS adalah segitiga samakaki sehingga s QRS = s QSR. Karena P-Q-S, maka PQ + QS = PR. Karena QS = QR maka PQ + QR = PS. Karena titik Q terletak di interior s PRS maka s PRS besar s QRS. Karena s QRS s kecil QSR maka s PRS bsaer s QSR sehingga berdasarkan teorema disimpulkan PS > PR atau PQ + QS = PR.

12.  Diketahui Δ ABC dan Δ A’B’C’ dengan A-B-D, A’-B’-D’,  AB  =A’B’,  BD = B’D’,  AC = A’C’, dan  BC = B’C’. Buktikan CD  = C’D’.  

Perhatikan  segitiga ABC dan segitiga A’B’C’. Karena AB+A’B’, AC=A’C’ dan BC=B’C’ maka segitiga ABC = segitiga A’B’C’ (Ss-Ss-Ss).  Akibatnya :  s CBD =s C’B’D’. Perhatikan  segitiga CBD dan segitiga C’B’D’. Karena BD=B’D’ s CBD = s C’B’D’. Dan BC=B’C’ maka segitiga CBD = segitiga C’B’D’ (Ss-Sd-Ss).  Akibatnya CD=C’D’. Terbukti.

A

1. jika 2 sisi segitiga tidak kongruen maka sudut yg berhadapan sisi tersebut ttidak kongruen. sudut yg lebih besar terdapat sisi lebih panajang.

Perh segita ABC AC lebih CB, maka tepat 1 titik dapat dilukis sebuah garis, mis pada CB shg C-B-D dimana CD = ac. Berdasarkan TSSK s A = s D. Berdasarkan Definisi sudut luar, mk s ABC lebih s CDA, karena titik B berada di Interior s CAD, mk , s CAD > s CAB shg s CBA > CAB, mk AC>BC

2.      2. Jika 2 sudut segitiga tidak =, mk sisi yg menghadap kedua sis tersebut tidak =, dan sisi yg panjang menghadap sudut yg besar.

Perh  segitga ABC, dimana s A > s B maka BC > AC

Bukti, andai Bc > AC maka, AC=BC dan BC<AC

Kalau BC = AC mk Berdasarkan TSSK maka s A = s B, (hal ini kontradiksi) karena s A> s B

Kalau BC < AC  mk Berdasarkan TSSK maka s A < s B, (hal ini kontradiksi) karena s A> s B

3.      3. Jumlah ukuran 2 sisi segitiga lebih panjang dari sisi ketiganya.

Perh segitiga PQR, mk tepat 1 titik dapat dilukis sebuah garis, misalkan PQ mak P-Q-S diman Qs = RQ. Karena QS=RQ, mk segitiga RQS segitiga sama kaki. Mk s S = s R. Shg PS = PQ + QS, karena Q berada di interior s PRS, shg s PRS>s PRQ, shg PS>RP. (berdasarkan teorema didepan sudut yg lebih panjang terdapat sisi yang paling panjang). Padahal PS = PQ + QS, dimana QS = RS. Shg, PQ + QR >PR.

4.      4. Teorema Hinge

Jika 2 sisi segita masing2x kongruen terhadap, 2 sisi segitiga yg lain dan sudut yg diapit dari segitiga pertama lebih panjang daripada sisi dihadapan sudut apit segitiga ke-2.

Perh segitiga ABC dan DEF, AB=DE, AC=DF, s CAB> s FDE

Adib BC>EF, s A > s D, mk tepat 1 titik mis P di interior s CAB, Segitiga ABP=DEF, Mis AR garis bagi sudut s CAB, dan memotong BC di S, berdasarkan kontruksi sudut, segitiga ACS=APS, dan CS=SP dg teorema(2 sisi segita lebih panjang dar sis ketiganya) BS+SP>BP sedangkan SP=SC, mk BS+SC.BP, padahal BS+SC=BC shg BC>BP, sedangkan BP=EF, mk BC>EF.

5.   5.   Teorema S-S-S segitiga kongruen

2 segitiga adalah kongruen jika ada suatu korespondensi diantara titik sudut-titik sudutnya, ke3 sisi pada sebuah segitiga adalah kongruen terhadap sisi yg berkorespondensi pada segitiga yg lain.

AB=DE, BC=EF, BF=AC adib SEGITIGA ABC = DEF

Pada sebuah titik dapat dilukis sebuah garis, mis pada titik A adapt dilukis garis AQ, shg membentuk sudut s BAQ=FDE, pada garis AQ dapat dilukis s3ebuah titik M, diman Am=DE, melalui 2 titik dapat dilukis sebuah garis yaitu Bm, shg BM=EF, dan DE=AB , pandang segitiga ABM dan DEF, akibatnya  pandand segitiga ABM = DEF, karena BM=DF, dan DE=AB dan AM=DF, sesuai dg sifat trnsititif kongruensi, shg s CAB=MAB, mk diperoleh segitiga ABC = ABM, pdahal Segitiga ABM=DEF shg segitiga Abc=DEF.

6.      6. (TSSK) Jika sepasang sisi segitiga kongruen maka sudut yg berhadapan dengan sis tersbut juga kongruen, ( jika P maka Q)

Perhatikan segitga ABC, lukis garis membagi misalkan AD garis membagi sudut s BAC, mka kan terbentuk Segitiga ABD dan ACD,, dimana AD=Ad, s DBA= CDA dan AB=Ac, shingga Segitiga ABD=ACD (S.sd.s) akibatnya ABD=ACD, terbukti

7.      .7jika sepasang sudut segitiga kongruen maka sisi yg berhadapan dengan sudut tersbut juga kongruen, ( jika Q maka p)(Konvers)

Andaikan AB tidak = AC maka AB ada 2 kemungkinan yaitu AB>AC dan AB<AC,

TMKB mk AB>AC,

Perhatikan segitga ABC dan BCD, diman BD =AC, s ABC=BCA, BC=BC, akibatnya,  segita ABC = DBC, akibatnaya s BCD=BCA, (kontradiksi) karena sudut luar lebih besar dari sudut dalam, maka pengandaian tersebut salah, haruslah AB =AC.

8.      8. Bukti teorema, ASASA (segi empat) kongruen.

Jawab,

Jika s A=E, AB=EF, sB=F, BC=FG, s C=G, maka Segi 4 ABCD=EFGH

Adib: Segi 4 ABCD=EFGH

Perh segitiga ABC = EFG

Segitiga ABC=EFG (sd-s-sd)

Akibatnya, Ac=EG, s A=E,B=F,C=G akibatnya s A=E

Panadang segita ADC dan EHG

Segita ADC = EHG (sd.s.sd)

s A = E, AC=EG, s C=G, maka segitiga ADC=EHG

sehingga kedua segiempat tempat, jadi segi 4 ABCD=EEFG

9.      9. AB=A’B’, BD=B’D’, AC=A’C’, BC=B’C’

Dit : Bukti CD=C’D’

Perhatiakn seigitiga ABC dan A’B’C’ dan AC=A’C’ dan BC=B’C’ dan segitiga ABC dan A’B’C’ (s.sd.s) akibatnya s CBD=C’B’D’

Perhatikan segitiga CBD=C’B’D’, karena BD=B’D’ ,  s CBD=C’B’D’,  (s.sd.s) akibatnya CD=C’D’.

10.  10. Nalog sss untuk segi empat, adib ABCDE=FGHIJ

Pandang segitiga ABE yg FGJ (s.sd,.s) akibatnya: BE=GJ, s ABE=s FGJ

Bukti, perh seitiga ABE dan segitiga FgJ (s,sd.s) akibatnya BE=GJ, s ABE=FGJ, , s AEB=FjG mk s CBE=HGJ

Pandang segiitiga BCE dan GHJ (s.sd.s) akibatnya BE=GJ, s BCE=HEJ, s AEB=FJG, maka  s BEC=GJH

Pandang segitiga CDE dan HIJ (s.sd.s) akibatnya: CE=HJ, s ECD=JHI, CD=HI

Sehingga kedua segilima tersebut kongruen, jadi segilima ABCDE=FGHIJ

11.  11. teorema (sd.sd,s) “jika titik sudut dua segitiga berkorespondensi satu-satu sedemikian sehingga 2 sudut dan satu sisi didepan salah sudut dari segitiga itu kongruen terhadap segitiga yang lain”

Perhatikan segitiga ABC = DEF, adaikan Ab tidak kongruen De maka AB >DE atau AB<DE. Segita AB’C = DEF maka akibatnya s AB’C=DEF, hal ini kontradiksi deng etorema sudut luar. sh

 

1   12. Teorema SASAS kongruen pada segi empat,

2 segiempat kongruen apabila keempat sisi dan kekempat sudutnya kongruen

Adib: Segiempat ABCD=EFGH

Pandang segitiga ABD dan  EFH (s.sd.s)

Segitiga ABD = EFH, BD=FH, s ABD=EFH, s ADB=EHF akibatnya Segitiga ABD=EFH maka s CDB=GFH

Pandang Segitiga BCD= FGH (s.sd.s)

Segitga BCD=FGH, maka BD=FH, s DBC=HJG, BC=FG

Akibatnya: Segittiga BCD=FGH,

Jadi ABCD = EFGH.

13.  13. PKE pernataan: Jika sembarang segittiga PQR dan semabarang ruas garis AB maka terdapat segitiga  yg mempunyai sisi kongruen terhadap garis AB, maka sebangun segitiga PQR

Adib.

14.  Teorema 3.4.7 Postulat Kesejajaran Euclid (PKE) ekuivalen dengan pernyataan:

jika satu garis berpotongan dengan salah satu garis sejajar maka garis itu akan berpotongan dengan garis kedua.

Dik: garis m//n, dan beerpotongan dg m di p, adib: garis t juga memotong n, Andaikan t tidak berpotong dg n maka t  pasti sejajar dg n (t//n).  Diketahui t melalui p, dan m melalui p. Berdasarkan PKE: Melaui satu titik diluar suatu garis hanya ada suatu garis yg sejajar dg garis yang diketahui.   yaitu m maka t memotong n.

15.  Teorema 3.4.8

Postulat Kesejajaran Euclid (PKE) jika suatu garis tegak lurus terhadap salah satu garis yang sejajar maka garis itu juga tegak lurus dengan garis yang lain (garis yang kedua)

Andaikan m//n dan t tegak lurus m di P, Adib t tidak lurus dg n maka ada satu titik R. Dg titik R dapat dibuat sebuah garis k yan tegak lurus dg t, shg n//k, Q melalui k. Dik n//m, hal ini kontradiksi dg PKE, jadi t tidak tegak lurus n .

16.  Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis transpersal shg sepasang sudut dalam  bersebrangan kongrueen maka garis-garis itu tegek lurus.

Andaikan ada 2 garis m dan n dipotong oleh garis k

Dik s P4=Q2, adib K tgak lurus M dan K tegak lurus N

Bukti, a. Andaikan K tidak tegak lurus M mk s P4 >Q2 atau P4<Q2

Secara umum s P 4 tidak kongruen Q2, hal ini kontradiksi yang diketahui, maka terbukti K tegak lurus M

b. dik s P4 kongruen Q4 akibatnya m//n

berdasarkan teorema (dua garis sejajar jika salah satu garis tegak lururus transversal, maka garis  yang kedua juga tegak lurus dg garis trnasversal) maka terbukti K tegak lurus N

17.  PKE pernyataan jika 2 garis sejajar dipotong oleh garis transpersal maka sepasang sudut dalam (sepihak) pada sisi yang sama, (sepihak) adalah 180.

dik: m///n,   adib : s P4 + Q1 = 180

anadaikan s P4 + Q1 tidak sama dengan 180, maka s P4 + Q1 < 180 atau s P4 + Q1>180

TMKB ambil s P4 + Q1<180 shg didapat M dan N berpotongan  hal ini konrtadiksi dg yg diketahui, maka s P4 + Q1=180

18.  Jika kita mendefinisiikan jumlah sudut dari segitiga ABC sebagai s A+B+C, buktikan bahwa PKE berlaku untuk setiapn egitiga mempunyai jumlah sudut 180.

Maenurut aksioma Euklid garis BC dapat diperpanjang tak terhingga (B-C-D) dar titik B kita dapat membuat garis berat. (membagi Ac menjadi 2 bagian yang sma panjang) memotong AC di sebuah titik misalkan di titik D. Kita dapat memperpanjangkan lagi BD hingga ke titik E, shingga BD=DE. Titik E dan C  dapat ditarik sebuah garis (aksioma Euklid)

Perhatikan segitiga ABD dan CDE

AD=CB dan s ADB=CDE (sudut bertolak belakang) dan BD=DE akibatnya segitiga ABD=CDE

Oleh karena itu , s BAD=DCE dan s BAD=DCE adalah sudut bersebrangan dalam (berdasarkan teorema) mkan AB//CE

Perhatikan:

s BCD+DCE+ECF (sudut berpelurus / suplemen) (s BCD+DCE+ECF=180)

s BCD=BCA=C

s DCE=DCA (SDB)

ECF=ABC (sudut sehadap)

Sehingga s s BCD+DCE+ECF=180

S BCA+BAC+ABC=180

S C+A+B=180

S A+B+C=180