Perh segita ABC AC lebih CB, maka tepat
1 titik dapat dilukis sebuah garis, mis pada CB shg C-B-D dimana CD = ac. Berdasarkan
TSSK s A = s D. Berdasarkan Definisi sudut luar, mk s ABC lebih s CDA, karena
titik B berada di Interior s CAD, mk , s CAD > s CAB shg s CBA > CAB, mk
AC>BC
2. 2. Jika
2 sudut segitiga tidak =, mk sisi yg menghadap kedua sis tersebut tidak =, dan
sisi yg panjang menghadap sudut yg besar.
Perh
segitga ABC, dimana s A > s B maka BC > AC
Bukti, andai Bc > AC maka, AC=BC dan
BC<AC
Kalau BC = AC mk Berdasarkan TSSK maka s
A = s B, (hal ini kontradiksi) karena s A> s B
Kalau BC < AC mk Berdasarkan TSSK maka s A < s B, (hal
ini kontradiksi) karena s A> s B
3. 3. Jumlah
ukuran 2 sisi segitiga lebih panjang dari sisi ketiganya.
Perh segitiga PQR, mk tepat 1 titik
dapat dilukis sebuah garis, misalkan PQ mak P-Q-S diman Qs = RQ. Karena QS=RQ,
mk segitiga RQS segitiga sama kaki. Mk s S = s R. Shg PS = PQ + QS, karena Q
berada di interior s PRS, shg s PRS>s PRQ, shg PS>RP. (berdasarkan
teorema didepan sudut yg lebih panjang terdapat sisi yang paling panjang).
Padahal PS = PQ + QS, dimana QS = RS. Shg, PQ + QR >PR.
4. 4. Teorema
Hinge
Jika 2 sisi segita masing2x kongruen
terhadap, 2 sisi segitiga yg lain dan sudut yg diapit dari segitiga pertama
lebih panjang daripada sisi dihadapan sudut apit segitiga ke-2.
Perh segitiga ABC dan DEF, AB=DE, AC=DF,
s CAB> s FDE
Adib BC>EF, s A > s D, mk tepat 1
titik mis P di interior s CAB, Segitiga ABP=DEF, Mis AR garis bagi sudut s CAB,
dan memotong BC di S, berdasarkan kontruksi sudut, segitiga ACS=APS, dan CS=SP
dg teorema(2 sisi segita lebih panjang dar sis ketiganya) BS+SP>BP sedangkan
SP=SC, mk BS+SC.BP, padahal BS+SC=BC shg BC>BP, sedangkan BP=EF, mk
BC>EF.
5. 5. Teorema
S-S-S segitiga kongruen
2 segitiga adalah kongruen jika ada
suatu korespondensi diantara titik sudut-titik sudutnya, ke3 sisi pada sebuah
segitiga adalah kongruen terhadap sisi yg berkorespondensi pada segitiga yg
lain.
AB=DE, BC=EF, BF=AC adib SEGITIGA ABC =
DEF
Pada sebuah titik dapat dilukis sebuah
garis, mis pada titik A adapt dilukis garis AQ, shg membentuk sudut s BAQ=FDE,
pada garis AQ dapat dilukis s3ebuah titik M, diman Am=DE, melalui 2 titik dapat
dilukis sebuah garis yaitu Bm, shg BM=EF, dan DE=AB , pandang segitiga ABM dan
DEF, akibatnya pandand segitiga ABM =
DEF, karena BM=DF, dan DE=AB dan AM=DF, sesuai dg sifat trnsititif kongruensi,
shg s CAB=MAB, mk diperoleh segitiga ABC = ABM, pdahal Segitiga ABM=DEF shg
segitiga Abc=DEF.
6. 6. (TSSK) Jika
sepasang sisi segitiga kongruen maka sudut yg berhadapan dengan sis tersbut
juga kongruen, ( jika P maka Q)
Perhatikan segitga ABC,
lukis garis membagi misalkan AD garis membagi sudut s BAC, mka kan terbentuk Segitiga ABD dan ACD,,
dimana AD=Ad, s DBA= CDA dan AB=Ac, shingga Segitiga ABD=ACD (S.sd.s) akibatnya
ABD=ACD, terbukti
7. .7jika
sepasang sudut segitiga kongruen maka sisi yg berhadapan dengan sudut tersbut
juga kongruen, ( jika Q maka p)(Konvers)
Andaikan AB tidak = AC
maka AB ada 2 kemungkinan yaitu AB>AC dan AB<AC,
TMKB mk AB>AC,
Perhatikan segitga ABC
dan BCD, diman BD =AC, s ABC=BCA, BC=BC, akibatnya, segita ABC = DBC, akibatnaya s BCD=BCA,
(kontradiksi) karena sudut luar lebih besar dari sudut dalam, maka pengandaian
tersebut salah, haruslah AB =AC.
8. 8. Bukti
teorema, ASASA (segi empat) kongruen.
Jawab,
Jika s A=E, AB=EF,
sB=F, BC=FG, s C=G, maka Segi 4 ABCD=EFGH
Adib: Segi 4 ABCD=EFGH
Perh segitiga ABC = EFG
Segitiga ABC=EFG
(sd-s-sd)
Akibatnya, Ac=EG, s A=E,B=F,C=G
akibatnya s A=E
Panadang segita ADC dan
EHG
Segita ADC = EHG
(sd.s.sd)
s A = E, AC=EG, s C=G,
maka segitiga ADC=EHG
sehingga kedua
segiempat tempat, jadi segi 4 ABCD=EEFG
9. 9. AB=A’B’,
BD=B’D’, AC=A’C’, BC=B’C’
Dit : Bukti CD=C’D’
Perhatiakn seigitiga
ABC dan A’B’C’ dan AC=A’C’ dan BC=B’C’ dan segitiga ABC dan A’B’C’ (s.sd.s)
akibatnya s CBD=C’B’D’
Perhatikan segitiga
CBD=C’B’D’, karena BD=B’D’ , s
CBD=C’B’D’, (s.sd.s) akibatnya CD=C’D’.
10. 10. Nalog
sss untuk segi empat, adib ABCDE=FGHIJ
Pandang segitiga ABE yg
FGJ (s.sd,.s) akibatnya: BE=GJ, s ABE=s FGJ
Bukti, perh seitiga ABE
dan segitiga FgJ (s,sd.s) akibatnya BE=GJ, s ABE=FGJ, , s AEB=FjG mk s CBE=HGJ
Pandang segiitiga BCE
dan GHJ (s.sd.s) akibatnya BE=GJ, s BCE=HEJ, s AEB=FJG, maka s BEC=GJH
Pandang segitiga CDE
dan HIJ (s.sd.s) akibatnya: CE=HJ, s ECD=JHI, CD=HI
Sehingga kedua segilima
tersebut kongruen, jadi segilima ABCDE=FGHIJ
11. 11. teorema
(sd.sd,s) “jika titik sudut dua segitiga berkorespondensi satu-satu sedemikian
sehingga 2 sudut dan satu sisi didepan salah sudut dari segitiga itu kongruen
terhadap segitiga yang lain”
Perhatikan segitiga ABC
= DEF, adaikan Ab tidak kongruen De maka AB >DE atau AB<DE. Segita AB’C =
DEF maka akibatnya s AB’C=DEF, hal ini kontradiksi deng etorema sudut luar. sh
1 12. Teorema
SASAS kongruen pada segi empat,
2 segiempat kongruen
apabila keempat sisi dan kekempat sudutnya kongruen
Adib: Segiempat
ABCD=EFGH
Pandang segitiga ABD
dan EFH (s.sd.s)
Segitiga ABD = EFH,
BD=FH, s ABD=EFH, s ADB=EHF akibatnya Segitiga ABD=EFH maka s CDB=GFH
Pandang Segitiga BCD=
FGH (s.sd.s)
Segitga BCD=FGH, maka
BD=FH, s DBC=HJG, BC=FG
Akibatnya: Segittiga
BCD=FGH,
Jadi ABCD = EFGH.
13. 13. PKE pernataan: Jika sembarang segittiga PQR dan semabarang ruas
garis AB maka terdapat segitiga yg mempunyai
sisi kongruen terhadap garis AB, maka sebangun segitiga
PQR
Adib.
14. Teorema
3.4.7 Postulat Kesejajaran Euclid (PKE) ekuivalen dengan pernyataan:
jika satu garis
berpotongan dengan salah satu garis sejajar maka garis itu akan berpotongan
dengan garis kedua.
Dik: garis m//n, dan
beerpotongan dg m di p, adib: garis t juga memotong n, Andaikan t tidak
berpotong dg n maka t pasti sejajar dg n
(t//n). Diketahui t melalui p, dan m
melalui p. Berdasarkan PKE: Melaui satu titik diluar suatu garis hanya ada
suatu garis yg sejajar dg garis yang diketahui. yaitu m maka t memotong n.
15. Teorema
3.4.8
Postulat Kesejajaran
Euclid (PKE) jika suatu garis tegak lurus terhadap salah satu garis yang
sejajar maka garis itu juga tegak lurus dengan garis yang lain (garis yang
kedua)
Andaikan m//n dan t
tegak lurus m di P, Adib t tidak lurus dg n maka ada satu titik R. Dg titik R
dapat dibuat sebuah garis k yan tegak lurus dg t, shg n//k, Q melalui k. Dik
n//m, hal ini kontradiksi dg PKE, jadi t tidak tegak lurus n .
16. Jika
dua garis dipotong oleh sebuah garis transpersal shg sepasang sudut dalam bersebrangan kongrueen maka garis-garis itu
tegek lurus.
Andaikan ada 2 garis m
dan n dipotong oleh garis k
Dik s P4=Q2, adib K
tgak lurus M dan K tegak lurus N
Bukti, a. Andaikan K
tidak tegak lurus M mk s P4 >Q2 atau P4<Q2
Secara umum s P 4 tidak
kongruen Q2, hal ini kontradiksi yang diketahui, maka terbukti K tegak lurus M
b. dik s P4 kongruen Q4
akibatnya m//n
berdasarkan teorema
(dua garis sejajar jika salah satu garis tegak lururus transversal, maka
garis yang kedua juga tegak lurus dg
garis trnasversal) maka terbukti K tegak lurus N
17. PKE
pernyataan jika 2 garis sejajar dipotong oleh garis transpersal maka sepasang
sudut dalam (sepihak) pada sisi yang sama, (sepihak) adalah 180.
dik: m///n, adib : s P4 + Q1 = 180
anadaikan s P4 + Q1
tidak sama dengan 180, maka s P4 + Q1 < 180 atau s P4 + Q1>180
TMKB ambil s P4 +
Q1<180 shg didapat M dan N berpotongan
hal ini konrtadiksi dg yg diketahui, maka s P4 + Q1=180
18. Jika
kita mendefinisiikan jumlah sudut dari segitiga ABC sebagai s A+B+C, buktikan
bahwa PKE berlaku untuk setiapn egitiga mempunyai jumlah sudut 180.
Maenurut aksioma Euklid
garis BC dapat diperpanjang tak terhingga (B-C-D) dar titik B kita dapat
membuat garis berat. (membagi Ac menjadi 2 bagian yang sma panjang) memotong AC
di sebuah titik misalkan di titik D. Kita dapat memperpanjangkan lagi BD hingga
ke titik E, shingga BD=DE. Titik E dan C dapat ditarik sebuah garis (aksioma Euklid)
Perhatikan segitiga ABD
dan CDE
AD=CB dan s ADB=CDE
(sudut bertolak belakang) dan BD=DE akibatnya segitiga ABD=CDE
Oleh karena itu , s
BAD=DCE dan s BAD=DCE adalah sudut bersebrangan dalam (berdasarkan teorema)
mkan AB//CE
Perhatikan:
s BCD+DCE+ECF (sudut
berpelurus / suplemen) (s BCD+DCE+ECF=180)
s BCD=BCA=C
s DCE=DCA (SDB)
ECF=ABC (sudut sehadap)
Sehingga s s
BCD+DCE+ECF=180
S BCA+BAC+ABC=180
S C+A+B=180
S A+B+C=180
Tidak ada komentar:
Posting Komentar