7. Diketahui K = {(a,b) I a,b angota Z dan b tidak = 0}
Didefinisikan operasi pada K , seperti berikut :
Untuk setiap (a,b) , (c,d) angota
K, (a, b) = (c, d)
jika dan hanya jika a = c dan b = d
( a, b) +(c, d) = (ad + bc ,
bd )
( a, b) *( c, d) = ( ac , bd )
Selidilah apakah ( K , +,*)
merupakang ring.
Jawab:
Jawab:
Diketahui
K = {(a,b) I a,b anggota Z
dan b tdk = 0}
Didefinisikan operasi pada K , seperti berikut :
Untuk setiap (a,b) , (c,d) anggota
K, (a, b) = (c, d)
jika dan hanya jika a = c dan b = d
( a, b) + (c, d) = (ad + bc , bd )
( a, b) * ( c, d) = ( ac , bd
)
Sebuah
sistem aljabar ( K ,+ , *)
adalah sebuah ring jika dipenuhi:
1. (
K , +) merupakan grup
abelian
a.
Adib ( K ,+)
grup
(i) ( K , +) tertutup terhadap K
(a,b),
(b,c) angoota K ada (a,b) +(c,d) = (ad + bc, bd)
ad
+ bc angota Z
(sifat bilangan bulat)
bd
angota Z (sifat bilangan bulat)
maka
(ad + bc, bd) anggota Z
(ii) Assosiatif
Setiap (a,b), (c,d) dan (e,f) angta
K
((a,b) +(c,d)) + (e,f) = (ad + bc,
bd ) +(e,f)
= ((ad +bc)f +bde, bdf)
= (adf + bcf + bde, bdf)
(a,b) +((c,d) +(e,f)) = (a,b) + (cf +
de , df)
= (adf +b(cf+ de), bdf
= adf +bcf +bde , bdf
Karena
((a,b) +(c,d)) +(e,f) = (a,b) +((c,d) +(e,f)), maka sifat assosiatif dipenuhi
(iii) Elemen identitas
Ada
e angota K,
setiap (a,b) angota K ada (a,b) +e
= e + (a,b) = (a,b)
Mis
: e = (x,y) maka
(a,b) +(x,y)
= (a,b)
( ay +bx
, by) = (a,b)
ay
+ bx = a……1)
by
= b…………2)
Dari
persamaan 2)
by
= b
y
= 1
Dari
persamaan 1)
ay
+ bx = a
a
+ bx = a
bx
= 0
x
= 0
Maka
elemen identitas (x,y) = (0,1)
\
(iv) Invers
ada (a,b)^ -1 angota K ada (a,b) + (a,b)^-1 = (a,b)^-1 (a,b) = e
Misal (a,b)-1 = (p,q)
(a,b) +(a,b)-1
= (0,1)
(a,b)-1
= (p,q)
(a,b) +(p,q) = (0,1)
(aq + bp, bq) = (0,1)
aq + bp = 0
bq = 1
q
= 1/b
dari
persamaan diatas akan ditentukan nilai p,maka
a
. 1/b + bp = 0
a/b+
bp = 0
bp = - a/b
p = -a/b^2
Jadi (a,b)-1 = (-a/b^2,
1/b) dengan a,b Z
(v) Abelian
(a,b) +(c,d) = (ad+bc,
bd)
= (bc+ad, db) ……………..
sifat komutatif pada penjumlahan
= (cb + da, db)……………. Sifat komutatif pada perkalian
(a,b) + (c,d) = (c,d) +
(a,b)
Karena
(a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b) maka sifat abelian terpenuhi
2. Himpunan K tertutup dan assosiatif terhadap *
a. Tertutup
(a,b), (c,d) K (a,b) (c,d) = (ac, bd)
ac Z dan bd Z
Jadi tertutup dipenuhi
b. Assosiatif
setiap
(a,b), (c,d) dan (e,f) K ((a,b) (c,d)) (e,f) = (a,b) ((c,d) (e,f))
((a,b)
(c,d)) (e,f) = (ac,bd) (e,f)
= (ace , bdf)
(a,b)
((c,d) (e,f)) = (a,b) (ce, df)
= (ace , bdf)
Karena
((a,b) (c,d)) (e,f) = (a,b) ((c,d) (e,f)) = (ace, bdf) maka sifat
assosiatif terpenuhi
3. Hukum
distributif kiri dan kanan
vi) Distributif kiri
X* (y +
z) = xy + xz
(a,b) *((c,d) +(e,f))
= (a,b) *(cf
+ de, df)
= (acf
+ ade, bdf)
(a,b) *((c,d) +(e,f) = (bacf + bade, bbdf)
= (acbf + bdae, bdbf)……………..(sifat komutatif
perkalian)
= (ac, bd) (ae, bf)
(a,b) *((c,d) + (e,f))
= ((a,b) * (c,d)) + ((a,b) *(e,f))
(vii) Distributif kanan
(x+y) * z = xz+yz
((a,b) +
(c,d)) *(e,f) = (ad + bc, bd) * (ef)
= (e(ad
+ bc), bdf)
= (ade + bce,
bde)
Ambil , fangota Z shg,
((a,b) + (c,d)) *(e,f)
= (aedf + bfce, bfdf)
= (ae, bf) (ce, df)
((a,b) +
(c,d)) * (e,f) = ((a,b) * (e,f)) + ((c,d)
*(e,f))
Tidak ada komentar:
Posting Komentar